ABC-382-E - Expansion Packs · znzryb
## 思路讲解
参考以下题解：
[https://www.luogu.com.cn/article/z6wql8q2](https://www.luogu.com.cn/article/z6wql8q2)
```cpp
FOR(i,1,N){cin>>P[i];}
FOR(i,0,N){ // 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
FOR(j,0,N){
if(i>0 && j>0){
// 这第i张没出货 第i张出货了
dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0)+dp[i-1][j-1]*(P[i]/100.0);
}else if(j==0 && i>0){
dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0);
}else if(i==0 && j==0){
dp[i][j]=1.0;
}else{ // 剩下的抽0张卡，获得>0张卡的概率自然是0
dp[i][j]=0;
}
}
}
```
前面这个求抽到第 i 张卡，有多大的概率恰好抽到 j 张稀有卡，还是不难的。
但是这道题目要求的是抽到至少 X 张卡的数学期望，这个的转移有点难，也有点难想。
$$
exp_i=1+\displaystyle\sum_{j=0}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]
$$
( $ exp_i$ 代表抽到至少 i 张的期望包数，$dp[N][j]$ 代表该包抽到恰好 j 张稀有卡的概率 )
这个式子初看很难理解，其实细看之下，还是不那么难理解的，1是我这次抽，所以 $+1$，但是我们是要转移的，需要从别的情况转移过来，那从哪些情况那？其实就是从 $\displaystyle\sum_{j=0}^{N}exp_{max(0,i-j)}$ 这些情况转移过来，但是这些转移是有概率的，多大的概率那？$dp[N][j]$。
当然因为左右两边都包含 $exp_i$ 其实我们还要进行一个移项。
$$
exp_i=1+exp_i\times dp[N][0]+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]\\
exp_i(1-dp[N][0])=1+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]\\
exp_i=(1+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j])\ /\ (1-dp[N][0])
$$
你可能会说，我还是不理解这个 $+1$，或者为什么不是直接用 $X/每包的期望稀有卡数量$。那么我问你，这个得到至少一张稀有卡的期望可能小于 1 吗？不可能吧，因为不可能一包卡都不开就拿到了一张稀有卡吧？所以其实这个 $+1$ 就是这里的转移必须要用开卡包来转移。
## AC代码
[https://atcoder.jp/contests/abc382/submissions/65982174](https://atcoder.jp/contests/abc382/submissions/65982174)
::: 源代码
```cpp
// Problem: E - Expansion Packs
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 382
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc382/tasks/abc382_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// by znzryb
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define getFro(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define getBac(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define DEBUG(variable) \
do { \
std::cerr << #variable << ":"; \
for (const auto& elem : variable) { \
std::cerr << elem << " "; \
} \
std::cerr << "\n"; \
} while (0)
#define uniVec(var) \
do { \
sort(var.begin(),var.end());\
var.resize(unique(var.begin(),var.end())-var.begin());\
} while (0)
#define debugN(var,N) \
do{ \
std::cerr<<#var<<":"; \
FOR(i,1,N){ \
std::cerr<<var[i]<<" "; \
} \
std::cerr<<"\n"; \
}while(0)
#define debugMap(variable) \
do { \
std::cerr << #variable << ":\n"; \
for (const auto& pair : variable) { \
std::cerr << " " << pair.first << " => " << pair.second << "\n"; \
} \
std::cerr << std::endl; \
} while (0)
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef pair<DB,DB> pdd;
typedef pair<ll,bool> plb;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e18)+3;
constexpr ll mod=static_cast<ll>(1e9)+7;
constexpr double eps=1e-8;
ll N,X,M,K,T,P[MAXN];
// 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
DB dp[5010][5010];
DB Exp[5010];
/*
gi:期望抽gi次.抽出至少i张稀有卡
fi:一包卡恰好有：i张稀有卡概率
*/
inline void solve(){
cin>>N>>X;
FOR(i,1,N){cin>>P[i];}
FOR(i,0,N){ // 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
FOR(j,0,N){
if(i>0 && j>0){
// 这第i张没出货 第i张出货了
dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0)+dp[i-1][j-1]*(P[i]/100.0);
}else if(j==0 && i>0){
dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0);
}else if(i==0 && j==0){
dp[i][j]=1.0;
}else{ // 剩下的抽0张卡，获得>0张卡的概率自然是0
dp[i][j]=0;
}
}
}
#ifdef LOCAL
FOR(i,0,N){ // 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
FOR(j,0,N){
cerr<<dp[i][j]<<" ";
}
cerr<<"\n";
}
#endif
// gi:期望抽gi次.抽出至少i张稀有卡
// G[0]=0;
FOR(i,1,X){
DB sum=0;
FOR(j,1,N){
if(i-j<0) break;
sum+=dp[N][j]*Exp[i-j];
}
Exp[i]=(1+sum)/(1-dp[N][0]);
}
cout<<setprecision(15)<<fixed<<Exp[X]<<"\n";
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// cin>>T;
// while(T--){
// solve();
// }
solve();
return 0;
}
/*
AC https://atcoder.jp/contests/abc382/submissions/65982174
*/
```
:::
## 心路历程（WA，TLE，MLE……）