2025牛客暑期多校训练营2——Highway Upgrade（分治搜索，凸包） · znzryb
## 思路讲解
[START195B——Game (Hard)（分治搜索）](/2025/07/17/20250717-b465b9f4) 打codechef还是有用的，或者说，非常有用。
先对询问进行排序，去重。
```cpp
vll uq(all(que));
sort(all(uq));uq.resize(unique(all(uq))-uq.begin());
```
然后后面就是官解的思路，直接枚举边，然后可以得到一个sum→w（即sumW map）
```cpp
map<ll,ll> sumW;
FOR(i,1,N){
for(auto &[v,t,w]:g[i]){
ll sum=revd[v]+dist[i]+t;
if(sumW.count(sum)){
sumW[sum]=max(sumW[sum],w);
}else{
sumW[sum]=w;
}
}
}
```
接着对这个sumW map进行一些处理，即使得sum越大，w也越大（sum大，w小的直接抛弃），接着装入sums数组（vector）中，方便我们二分查找。
```cpp
for(auto it=sumW.begin();it!=sumW.end();){
ll sum=it->first,w=it->second;
if(w < mxw){ // 你的sum比别人大，你的w还比别人小，你存在的意义是什么？
it++;
sumW.erase(prev(it)); // 因此删除
}else{
mxw=w; // 更新mxw
it++;
}
}
vector<pll> sums;
for(auto &[sum,w]:sumW){
sums.emplace_back(sum,w);
}
```
接着利用该单调性，递归二分搜索。（这可能也是官解的思路，二分可行域）
```cpp
vll cun(Q+5,0);
function<void(ll,ll,ll,ll)> dfs=[&](ll ia,ll ib,ll kc,ll kd)->void{
// kc，kd指的是询问的时候升级次数的编号，或者简单一点，就是uq的下标
if(kc>kd) return;
ll k=uq[kc+kd>>1];
ll km=kc+kd>>1;
ll ans=INF;
ll mid=0;
// 在可行域中暴力计算答案
FOR(i,ia,ib){ // ia ib 指的是sums的下标
ll sum=sums[i].first,w=sums[i].second;
ll lans=sum-w*k;
if(lans<=ans){
mid=i;
ans=lans;
}
}
cun[km]=ans;
dfs(mid,ib,km+1,kd);
dfs(ia,mid,kc,km-1);
};
```
## AC代码
[https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=78313063](https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=78313063)
::: 源代码
```cpp
// Problem: Highway Upgrade
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/108299/H
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 6000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)
#define V vector
using namespace std;
using ll = long long;using ull = unsigned long long;
using DB=double;using LD=long double;
// using i128 = __int128;
using pdd = pair<DB,DB>;using plb = pair<ll,bool>;
using pll = pair<ll,ll>;using vll=vector<ll>;
using arr3 = array<ll,3> ;using arr2 = array<ll,2>;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e17)+9; // 1e18+9也是素数
constexpr ll MAXM=(ll)1e6+10;constexpr ll MAXV=(ll)1e6+10;
constexpr ll mod=(ll)1e9+7; // 998244353
constexpr double eps=1e-8;const double pi=acos(-1.0);
ll N,M,Q,X,K,T,lT,A[MAXN];
/*
*/
inline void __(){
cin>>N>>M;
vector<vector<arr3> > g(N+5);
FOR(i,1,M){
ll u,v,t,w;
cin>>u>>v>>t>>w;
g[u].pb({v,t,w});
}
cin>>Q;
vll que;
FOR(i,1,Q){
ll k;cin>>k;
que.pb(k);
}
vll uq(all(que));
sort(all(uq));uq.resize(unique(all(uq))-uq.begin());
vector<ll> dist(N+5,(ll)1E18+17);
auto dij=[&](ll s,vector<ll> &Dist,vector<vector<arr3> > & G)->void{
using PLL=pair<ll,ll>; // 改类型这里
priority_queue<PLL,vector<PLL>,greater<> > q;
vector<bool> vis(N+5,0);
q.emplace(0,s);
Dist[s]=0;
while(!q.empty()){
ll x=q.top().second;
q.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=true;
for(auto [y,w,t]:G[x]){
if(Dist[y] > Dist[x] + w){
Dist[y]=Dist[x]+w;
q.emplace(Dist[y],y);
}
}
}
};
dij(1,dist,g);
vector<vector<arr3> > revg(N+5);
FOR(i,1,N){
for(auto &[v,t,w]:g[i]){
revg[v].pb({i,t,w});
}
}
vector<ll> revd(N+5,(ll)1E18+17);
dij(N,revd,revg);
map<ll,ll> sumW;
FOR(i,1,N){
for(auto &[v,t,w]:g[i]){
ll sum=revd[v]+dist[i]+t;
if(sumW.count(sum)){
sumW[sum]=max(sumW[sum],w);
}else{
sumW[sum]=w;
}
}
}
ll mxw=0;
for(auto it=sumW.begin();it!=sumW.end();){
ll sum=it->first,w=it->second;
if(w < mxw){
it++;
sumW.erase(prev(it));
}else{
mxw=w;
it++;
}
}
vector<pll> sums;
for(auto &[sum,w]:sumW){
sums.emplace_back(sum,w);
}
vll cun(Q+5,0);
function<void(ll,ll,ll,ll)> dfs=[&](ll ia,ll ib,ll kc,ll kd)->void{
if(kc>kd) return;
ll k=uq[kc+kd>>1];
ll km=kc+kd>>1;
#ifdef LOCAL
debug(k);
#endif
ll ans=INF;
ll mid=0;
FOR(i,ia,ib){
ll sum=sums[i].first,w=sums[i].second;
ll lans=sum-w*k;
// #ifdef LOCAL
// debug(sum);debug(lans);
// #endif
if(lans<=ans){
mid=i;
ans=lans;
#ifdef LOCAL
debug(km);debug(k);debug(lans);
#endif
}
}
cun[km]=ans;
dfs(mid,ib,km+1,kd);
dfs(ia,mid,kc,km-1);
};
#ifdef LOCAL
cerr << "OK" << '\n';
#endif
dfs(0,SZ(sums)-1,0,SZ(uq)-1);
#ifdef LOCAL
for(auto &c:cun){
debug(c);
}
for(auto &u:uq){
debug(u);
}
#endif
FOR(i,0,Q-1){
ll k=que[i];
ll idx=lower_bound(all(uq),k)-uq.begin();
cout<<cun[idx]<<"\n";
#ifdef LOCAL
debug(idx);
#endif
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>lT;
while(lT--)
__();
return 0;
}
/*
AC
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/view-submission?submissionId=78313063
*/
```
:::
## 心路历程（WA，TLE，MLE……）
`vll cun(Q+5,0);`
别写成N+5了。