Educational Codeforces Round 187 (Rated for Div. 2)-CF-Edu-187-D. Divisibility Game（较大数据量下 vector 套 vector 的调和级数因数分解会出问题）（觉得有点把握不住，就上 int128，一般就比较难卡掉了）（在高版本 C++，要自己定义 lcm 函数就写 lcm128 什么的，就写 lcm 可能给你直接调 std::lcm） · znzryb
## 题目大意
**题目大意**
Alice 和 Bob 在玩一个游戏。给定两个数组：包含 $n$ 个元素的数组 $a$ 和包含 $m$ 个元素的数组 $b$。
两人轮流进行操作，Alice 先手。在每个回合中，玩家需要从数组 $a$ 中选择一个数字 $x$，并从数组 $b$ 中选择一个数字 $y$。
- **Alice 的规则**：选择的 $y$ 必须能被 $x$ 整除。
- **Bob 的规则**：选择的 $y$ 必须不能被 $x$ 整除。
选定 $x$ 和 $y$ 后，$y$ 会从数组 $b$ 中被移除（如果数组中存在多个相同的 $y$，只移除其中一个），而 $x$ 仍然保留在数组 $a$ 中。无法进行合法操作（即无法选出满足自身规则的 $x$ 和 $y$）的玩家将输掉游戏。
假设双方都采取最优策略，请判断谁会赢得游戏。
**输入格式**
第一行包含一个整数 $t$（$1 \le t \le 10^4$），表示测试用例的数量。
对于每个测试用例：
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$（$1 \le n, m \le 10^6$）。
第二行包含 $n$ 个整数 $a_i$（$1 \le a_i \le n+m$），表示数组 $a$ 的元素。
第三行包含 $m$ 个整数 $b_i$（$1 \le b_i \le n+m$），表示数组 $b$ 的元素。
保证所有测试用例中 $n$ 的总和以及 $m$ 的总和均不超过 $10^6$。
**输出格式**
对于每个测试用例，输出获胜者的名字：如果 Alice 赢，输出 `Alice`；如果 Bob 赢，输出 `Bob`。
**样例输入**
```
3
9 3
3 2 4 2 2 4 4 2 4
6 7 12
10 3
3 2 5 4 2 5 3 4 4 4
10 7 13
1 5
1
1 2 3 4 5
```
**样例输出**
```
Alice
Bob
Alice
```
**样例解释**
对于第一个测试用例，Alice 的获胜过程如下：
1. **Alice 的回合**：选择 $x=3, y=6$（$6$ 能被 $3$ 整除）。操作后 $6$ 从数组 $b$ 中移除，此时 $b=[7, 12]$。
1. **Bob 的回合**：选择 $x=3, y=7$（$7$ 不能被 $3$ 整除）。Bob 在这个回合只能选择 $y=7$，因为对于 $y=12$，数组 $a$ 中找不到任何不能整除它的 $x$。操作后 $7$ 从数组 $b$ 中移除，此时 $b=[12]$。
1. **Alice 的回合**：选择 $x=4, y=12$（$12$ 能被 $4$ 整除）。操作后 $12$ 从数组 $b$ 中移除，此时数组 $b$ 变为空。
1. **Bob 的回合**：数组 $b$ 已经为空，Bob 无法进行任何操作，因此 Bob 输掉游戏，Alice 获胜。
## 思路讲解
OK，我们说回来。这个D为什么交了5发还是没过呢？主要是因为就是这个D，它的数据量比较大。使用Victor victor或者victor的这种调和级数写法呢，它这个时间会超。可以使用vis 数组标记所有 a 的倍数。这样子可以避免卡常。
```cpp
ll cnt_un_divide=0,cnt_all_divide=0;
vector<char> vis(N+M+2);
for (auto a:A) {
for (ll i=1;i<=N+M;++i) {
if (i*a>N+M) {
break;
}
vis[i*a]=true;
}
}
```
然后为什么标题里面提了不要用 while 循环？是因为涉及累加的逻辑（在 D 的对拍暴力程序当中），直接 continue 以后，while 循环的这个累加就崩掉了。
## AC代码
AC
[https://codeforces.com/contest/2203/submission/364454955](https://codeforces.com/contest/2203/submission/364454955)
::: 源代码
```cpp
/**
* Problem: D. Divisibility Game
* Contest: Educational Codeforces Round 187 (Rated for Div. 2)
* Judge: Codeforces
* URL: https://codeforces.com/contest/2203/problem/D
* Created: 2026-02-25 22:56:31
* Author: Gospel_rock
* My blog: https://znzryb.com/
*
* Powered by AutoCp https://github.com/Pushpavel/AutoCp
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define lson(o) (o<<1)
#define rson(o) (o<<1|1)
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define debug(var) cerr << #var <<" = ["<<var<<"]"<<"\n";
#define debug1d(a) \
cerr << #a << " = ["; \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++) \
cerr << (i ? ", " : "") << a[i]; \
cerr << "]\n";
#define debug2d(a) \
cerr << #a << " = [\n"; \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++) \
{ \
cerr << " ["; \
for (int j = 0; j < (int)(a[i]).size(); j++) \
cerr << (j ? ", " : "") << a[i][j]; \
cerr << "]\n"; \
} \
cerr << "]\n";
#define cend cerr<<"\n-----------\n"
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)
using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using DB = double;
using i128 = __int128;
using CD = complex<double>;
static constexpr ll MAXN = (ll)2e6+10, INF = (1ll<<61)-1;
static constexpr ll mod = 998244353; // (ll)1e9+7;
static constexpr double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
ll lT,testcase;
/*
*
*/
i128 lcm128(i128 a,i128 b) {
i128 res=a*b/__gcd(a,b);
return res;
}
// vector<ll> factor[MAXN];
void Solve() {
ll N,M;
cin >> N >> M;
vector<ll> A(N),B(M);
for (int i=0;i<N;++i) {
cin>>A[i];
}
for (int i=0;i<M;++i) {
cin>>B[i];
}
// vector<vector<ll>> factor(N+M+2);
// factor.reserve(N+M+2);
// for (int i=1;i<=N+M;++i) {
// for (int j=1;j<=N+M;++j) {
// if (i*j>N+M) {
// break;
// }
// factor[i*j].push_back(i);
// }
// }
sort(all(A));
A.resize(unique(all(A))-A.begin());
__int128 acc_lcm=A[0];
for (int i=1;i<A.size();++i) {
acc_lcm=lcm128(acc_lcm,A[i]);
}
ll cnt_un_divide=0,cnt_all_divide=0;
vector<char> vis(N+M+2);
for (auto a:A) {
for (ll i=1;i<=N+M;++i) {
if (i*a>N+M) {
break;
}
vis[i*a]=true;
}
}
for (int i=0;i<M;++i) {
if (!vis[B[i]]) {
cnt_un_divide++;
}
}
for (int i=0;i<M;++i) {
if (B[i]%acc_lcm==0) {
cnt_all_divide++;
}
}
ll rem=M-cnt_all_divide-cnt_un_divide;
for (int idx=1;;++idx) {
if (idx&1) {
if (rem>0) {
rem--;
continue;
}
if (cnt_all_divide>0) {
cnt_all_divide--;
continue;
}
cout<<"Bob\n";
return;
}else {
if (rem>0) {
rem--;
continue;
}
if (cnt_un_divide>0) {
cnt_un_divide--;
continue;
}
cout<<"Alice\n";
return;
}
}
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
#ifdef LOCAL
cout.setf(ios::unitbuf); // 无缓冲流，方便我们调试
#endif
cin >> lT;
for (testcase=1;testcase<=lT;++testcase)
Solve();
return 0;
}
/*
AC
https://codeforces.com/contest/2203/submission/364454955
1
9 3
3 2 4 2 2 4 4 2 4
6 7 12
1
1 5
1
1 2 3 4 5
*/
```
:::
## 心路历程（WA，TLE，MLE……）
后面还被系统测试阴了一手，把这个LCM改成128，用INT128就可以了，这个叫什么，当时其实我就知道这里应该是会有点问题的，想用这个128嘛，但是可能还是犹豫还是犹豫了。
```cpp
i128 lcm128(i128 a,i128 b) {
i128 res=a*b/__gcd(a,b);
return res;
}
```