题目大意

给定三角形三个顶点 $A(X_a,Y_a)$ 、 $B(X_b,Y_b)$ 、 $C(X_c,Y_c)$ 的整数坐标，求三件事：

三角形面积（保留 1 位小数）
三角形内部的整点个数
边 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 上的整点个数（都不含三角形顶点）

输入输出与数据范围

多组输入，每组三行各两个整数（依次是 A、B、C 的坐标），读到 -1 结束。 $0 \le X,Y \le 10^6$ 。

每组输出一行：先一个保留 1 位小数的面积，再依次输出 4 个整数——内部整点数、 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 边上的整点数，空格隔开。

样例

输入
0 0
2 0
0 2
0 0
3 0
0 3
-1

输出
2.0 0 1 1 1
4.5 1 2 2 2

思路讲解

一句话

整道题就是 Pick 定理 套一个 线段格点数公式，没有任何数据结构，纯数论 + 一次叉积。三件事：

面积 = 叉积绝对值的一半；
一条边上的整点数（不含端点） $= \gcd(|dx|,|dy|) - 1$ ；
内部整点数走 Pick 定理反解。

边上的整点数 = gcd − 1

把边的方向 $(dx,dy)$ 除掉公因子 $g = \gcd(|dx|,|dy|)$ ，得到 本原向量 $(dx/g,\,dy/g)$ ——它两个分量互质，是这条方向上「最短的整点步长」。整段恰好等于走 $g$ 个本原向量。

关键不变量：每跳一个本原向量正好落在一个整点上，跳 $g$ 步到终点。于是线段上一共 $g+1$ 个整点（含两端），掐掉两个端点就是 $g-1$ 个。

为什么不多也不少，分两个方向（就像证等式要证两边）：

存在性：第 $k$ 个等分点坐标是 $(k \cdot dx/g,\, k \cdot dy/g)$ ，因为 $dx/g, dy/g$ 是整数，乘整数还是整数，所以这 $g+1$ 个点全是整点。
唯一性：相邻两个等分点之间正好是一个本原向量（互质）。设其内部还有整点，则它满足 $x/a = y/b = t \in (0,1)$ ，把 $t$ 写成最简分数 $p/q$ ，需要 $q \mid a$ 且 $q \mid b$ ，于是 $q \mid \gcd(a,b) = 1$ ，逼出 $q = 1$ 、 $t$ 是整数，与 $t \in (0,1)$ 矛盾。所以一个本原步内部挖不出整点。

Pick 定理求内部点

Pick 定理：面积 $S = I + \frac{B}{2} - 1$ ，其中 $I$ 是内部整点数、 $B$ 是边界整点数。反解出内部点：

I = \frac{2S - B}{2} + 1

$2S$ 直接用叉积绝对值，是整数，全程不碰浮点；
$B$ = 三条边的 $\gcd$ 之和（含顶点，见下一节）。

边界点 B 含不含顶点？含。

这是最容易混的地方，要分清两个量：

输出给题目的「边上点数」：用 $\gcd - 1$ ，不含顶点（题目明确要求）；
Pick 用的边界点 $B$ ：用 $\sum \gcd$ ，含顶点。

绕多边形一圈，每条边的 $\gcd$ 恰好把它的「一个端点」算进来，三条边加起来每个顶点不重不漏算一次：

B = \sum \gcd = (\text{顶点数}) + (\text{各边内部点数})

代码里我存的是 gcd - 1 这种「不含端点」的值，所以补回 3 个顶点： $B = (dotAb + dotAc + dotBc) + 3$ 。两个量差的正好是 3 个顶点，千万别混用。

📎 动画与源码

下方附了一个交互式 HTML 演示：可以拖线段、点 Step 一步步看本原向量怎么把线段切成 $g$ 等份，还能拖三角形顶点看 Pick 各量联动。几张关键帧也截在这一节里。

AC 代码

牛客已 AC。核心全在 Solve()：面积走几何模板的 polygonArea，边上点数用 __gcd，内部点 Pick 反解；输出顺序按题目要求是 $AB, BC, AC$ 。

展开完整源码

// teamname: Gospel_rock
/**
 * Problem: 三角形
 * Contest: 
 * Judge: NowCoder
 * URL: https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15087
 * Created: 2026-05-21 13:24:17
 * Author: Gospel_rock
 * My blog: https://znzryb.com/
 * 
 * Powered by AutoCp https://github.com/Pushpavel/AutoCp
 */

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define lson(o) (o<<1)
#define rson(o) (o<<1|1)
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)

using namespace std;

#if 1 && defined(LOCAL)
// @formatter:off
namespace DBG {
	template<typename T> void debug(T x);
	void debug(bool x);
	void debug(string x);
	template<typename T> void debug(vector<T> v);
	template<typename T, size_t N> void debug(array<T, N> v);
	template<typename T> void debug(set<T> s);
	template<typename T, typename U> void debug(pair<T, U> p);
	template<typename T, typename U> void debug(map<T, U> m);
	template<typename, typename = void> constexpr bool _has_iter_v = false;
	template<typename T> constexpr bool _has_iter_v<T, void_t<decltype(declval<T>().begin()), decltype(declval<T>().end())>> = true;
	template<typename T>
	void debug(T x) { cerr << x; } void debug(bool x) { cerr << (x ? "T" : "F"); } void debug(string x) { cerr << '"' << x << '"'; }
	template<typename T> void debug(vector<T> v) { constexpr bool nested = _has_iter_v<T>; int n = v.size(); cerr << "["; for (int i = 0; i < n; i++) { if constexpr (nested) { if (i) cerr << ","; cerr << "\n  "; } else { if (i) cerr << ", "; } debug(v[i]); } if constexpr (nested) { if (n) cerr << "\n"; } cerr << "]"; }
	template<typename T, size_t N> void debug(array<T, N> v) { constexpr bool nested = _has_iter_v<T>; cerr << "["; for (size_t i = 0; i < N; i++) { if constexpr (nested) { if (i) cerr << ","; cerr << "\n  "; } else { if (i) cerr << ", "; } debug(v[i]); } if constexpr (nested) { if (N) cerr << "\n"; } cerr << "]"; }
	template<typename T> void debug(set<T> s) { cerr << "{"; int f = 0; for (auto x: s) { if (f++) cerr << ", "; debug(x); } cerr << "}"; }
	template<typename T, typename U> void debug(pair<T, U> p) { cerr << "("; debug(p.first); cerr << ", "; debug(p.second); cerr << ")"; }
	template<typename T, typename U> void debug(map<T, U> m) { cerr << "{"; int f = 0; for (auto &[k, v]: m) { if (f++) cerr << ", "; debug(k); cerr << ": "; debug(v); } cerr << "}"; }
	void _dbg() { cerr << endl; }
	template<typename T, typename... A> void _dbg(T x, A... a) { debug(x); if (sizeof...(a)) cerr << ", "; _dbg(a...); }
}
// @formatter:on
#define dbg(x...) cerr << "[" << setw(7) << #x << "] = ", DBG::_dbg(x)
#define cend cerr<<"\n---------------------------------------------------\n"
#define cEnd cerr<<"\n***************************************************\n"
#define myAssert(...) assert((__VA_ARGS__))
#else
#define dbg(x...) 11
#define cend 45
#define cEnd 14
#define myAssert(x) 14
#endif

using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using DB = double;
using i128 = __int128;
using CD = complex<double>;

static constexpr ll MAXN = (ll)1e6 + 10, INF = (1ll << 61) - 1;
static constexpr ll mod = 998244353; // (ll)1e9+7;
static constexpr double eps = 1e-8;
// 不用 M_PI: 后者是 POSIX 扩展, glibc <cmath> 严格模式会 undef
const long double PI = acosl(-1.0);

ll lT, testcase;

/*
 *
 */

/*
 * 2026-2-3  增加编译器识别 Real 类型功能
 * 2026-3-19 增加了从斜率式和一般式构造 Line
 * 2026-5-4  几何模板大改（QOJ 784 沉淀）：新增 isqrt / sqrtL、cross 三参数重载、polygonSignedArea，reorder_polygon 整体判向，isConvex 加 strict 参数，新增凸多边形直径旋转卡壳
 * 2026-5-5  Luogu P16223 沉淀：Point 加 id 字段，convex_diameter 加 n <= 2 退化特判，新增 furthest_pair_of_point
 * 2026-5-6  P3187 沉淀：getintersect 加浮点 assert + 显式 (DB) cross，make_convex_hull 加 strict 参数，新增 minimum_rectangle_cover
 * 2026-5-11 几何全面模板化：Point / Line 改 template<class T>，T 自动分流 ll / i128 / DB
 * 2026-5-12 加入了 Circle 类
 * 2026-5-13 加入了 half_plane_cut 和 unique_line_polar_angle_sort，加入了隐式转换和转换方向
 * 2026-5-15 加入了 HullMode
 */

// floor(sqrt(n)), n >= 0；二分 + 防溢出
i128 isqrt(i128 n) {
	if (n <= 0) return 0;
	i128 lo = 0, hi = (i128)2e18; // sqrt(4e36) <= 2e18
	while (lo < hi) {
		i128 mid = lo + (hi - lo + 1) / 2;
		if (mid <= n / mid) lo = mid; // 等价 mid*mid <= n，避免 i128 平方溢出
		else hi = mid - 1;
	}
	return lo;
}

// 统一 sqrt 入口：浮点直接 sqrtl；整数（含 i128）走 isqrt + fraction，避免 (long double) i128 在 n > 2^53 时丢整数精度。
template<typename T>
long double sqrtL(T n) {
	if constexpr (is_floating_point_v<T>) {
		return sqrtl((long double)n);
	} else {
		i128 ni = (i128)n;
		if (ni <= 0) return 0;
		i128 i = isqrt(ni);
		long double id = (long double)i;
		long double rd = (long double)(ni - i * i);
		// sqrt(i^2 + r) = i * sqrt(1 + r/i^2)
		return id * sqrtl(1.0L + rd / (id * id));
	}
}

// x*x 安全平方: 整数升 i128 防溢出 (1000^2 不会溢, 但模板要扛 1e9 量级输入),
// 浮点原样 T*T 不动 (i128 没浮点意义).
template<class T>
auto squared(T x) {
	if constexpr (is_floating_point_v<T>) {
		return x * x;
	} else {
		return (i128)x * (i128)x;
	}
}

template<class T>
int sgn(T x) {
	if (-eps < x && x < eps) return 0;
	return x < 0 ? -1 : 1;
}

template<class T>
struct Point {
	T x, y;
	int id = -1; // 原始下标. -1 表示派生点 (+ - * 等算术结果) 或未赋值, id 无意义

	explicit Point(T x_ = 0, T y_ = 0) : x(x_), y(y_) {
	}

	// Point<U> -> Point<T> 隐式 (common_type 单调升档方向, U -> T 必须无损):
	// common_type_t<U, T> == T 才放行 (例 ll -> DB 通; DB -> ll 拦, 防 truncation)
	template<class U, class = enable_if_t<is_same_v<common_type_t<U, T>, T> > >
	Point(const Point<U> &o) : x((T)o.x), y((T)o.y), id(o.id) {
	}

	// 只对左值生效的复合运算符
	Point &operator+=(Point p) & {
		x += p.x, y += p.y;
		return *this;
	}

	Point &operator-=(Point p) & {
		x -= p.x, y -= p.y;
		return *this;
	}

	Point &operator*=(T t) & {
		x *= t, y *= t;
		return *this;
	}

	Point &operator/=(T t) & {
		x /= t, y /= t;
		return *this;
	}

	Point operator-() const { return Point(-x, -y); }

	friend Point operator+(Point a, Point b) { return a += b; }
	friend Point operator-(Point a, Point b) { return a -= b; }

	// 标量乘除: 返回 Point<common_type_t<T, U>> (C++14), 自动算公共类型
	// <ll,ll>=ll / <ll,DB>=DB / <DB,ll>=DB; R==T 走 copy ctor, R!=T 走 converting ctor
	template<class U>
	friend auto operator*(Point a, U b) {
		Point<common_type_t<T, U> > r = a;
		r *= b;
		return r;
	}

	template<class U>
	friend auto operator*(U a, Point b) {
		Point<common_type_t<T, U> > r = b;
		r *= a;
		return r;
	}

	template<class U>
	friend auto operator/(Point a, U b) {
		Point<common_type_t<T, U> > r = a;
		r /= b;
		return r;
	}

	friend bool operator<(Point a, Point b) {
		int sx = sgn(a.x - b.x);
		if (sx != 0) return a.x < b.x;
		return a.y < b.y;
	}

	friend bool operator>(Point a, Point b) { return b < a; }

	friend bool operator==(Point a, Point b) {
		return sgn(a.x - b.x) == 0 && sgn(a.y - b.y) == 0;
	}

	friend bool operator!=(Point a, Point b) { return !(a == b); }

	friend istream &operator>>(istream &is, Point &p) { return is >> p.x >> p.y; }
	friend ostream &operator<<(ostream &os, Point p) { return os << "(" << p.x << ", " << p.y << ")"; }

	auto norm() const {
		if constexpr (!is_floating_point_v<T>) {
			return (__int128_t)x * x + (__int128_t)y * y;
		} else {
			return x * x + y * y;
		}
	}

	DB abs() const { return sqrtL(norm()); }

	Point rot90() const {
		return Point(-y, x);
	}

	Point<DB> rot(DB ang) const {
		return Point<DB>(cosl(ang) * x - sinl(ang) * y, sinl(ang) * x + cosl(ang) * y);
	}

	// L1 范数 (曼哈顿) = |x| + |y|. 整型分支走 __int128_t 防溢出.
	auto normL1() const {
		auto ax = (x < 0 ? -x : x), ay = (y < 0 ? -y : y);
		if constexpr (!is_floating_point_v<T>) {
			return (__int128_t)ax + (__int128_t)ay;
		} else {
			return ax + ay;
		}
	}

	// Linf 范数 (切比雪夫) = max(|x|, |y|). 返回类型与 T 同.
	T normLinf() const {
		auto ax = (x < 0 ? -x : x), ay = (y < 0 ? -y : y);
		return ax > ay ? ax : ay;
	}
};

template<class T, class U>
auto cross(Point<T> a, Point<U> b) {
	// 在 T 为整数的时候，使用 __int128_t 整型进行计算
	//（改为这个非float，那么在类型为I128时，仍然可以计算）
	if constexpr (!is_floating_point_v<T> && !is_floating_point_v<U>) {
		return (__int128_t)a.x * b.y - (__int128_t)a.y * b.x;
	} else {
		return a.x * b.y - a.y * b.x;
	}
}

// 三点重载: 以 o 为原点, 算 (a - o) × (b - o)
// 用途: 判 3 点 turn (>0 左转, <0 右转, =0 共线) / 2 倍三角形有向面积 / 凸包面积扫描
template<class T, class U, class V>
auto cross(Point<T> o, Point<U> a, Point<V> b) {
	return cross(a - o, b - o);
}

template<class T, class U>
auto dot(Point<T> a, Point<U> b) {
	// 在 T 为整数的时候，使用 __int128_t 整型进行计算
	if constexpr (!is_floating_point_v<T> && !is_floating_point_v<U>) {
		return (__int128_t)a.x * b.x + (__int128_t)a.y * b.y;
	} else {
		return a.x * b.x + a.y * b.y;
	}
}

// 三点重载: 以 o 为原点, 算 (a - o) · (b - o)
// 用途: 判夹角钝/直/锐 (>0 锐, =0 直, <0 钝) / 投影长度的有符号 2 倍 / 点在线段上的位置判定
template<class T, class U, class V>
auto dot(Point<T> o, Point<U> a, Point<V> b) {
	return dot(a - o, b - o);
}

// 采用两点式
template<class T>
struct Line {
	Point<T> p1, p2;

	Line() = default;

	Line(Point<T> a, Point<T> b) : p1(a), p2(b) {
	}

	// Line<U> -> Line<T> 隐式 (common_type 单调升档方向, 同 Point converting ctor)
	template<class U, class = enable_if_t<is_same_v<common_type_t<U, T>, T> > >
	Line(const Line<U> &o) : p1(o.p1), p2(o.p2) {
	}

	// AC https://qoj.ac/submission/2146870
	Line(T k, T c) : p1(Point<T>(0, c)), p2(Point<T>(1, k + c)) {
	}

	friend bool operator<(Line a, Line b) {
		if (a.p1 != b.p1) return a.p1 < b.p1;
		return a.p2 < b.p2;
	}

	friend bool operator==(Line a, Line b) {
		if (a.p1 != b.p1) return false;
		if (a.p2 != b.p2) return false;
		return true;
	}

	friend istream &operator>>(istream &is, Line &e) {
		T a, b, c, d;
		is >> a >> b >> c >> d;
		e = Line(Point<T>(a, b), Point<T>(c, d));
		return is;
	}

	friend ostream &operator<<(ostream &os, Line l) {
		return os << "<" << l.p1 << ", " << l.p2 << ">";
	}
};

Line<DB> gen_line_from_general(DB a, DB b, DB c) {
	// 方向向量 (b, -a)
	Point<DB> p1, p2;
	if (b != 0) {
		p1 = Point<DB>(0, -c / b);
	} else {
		p1 = Point<DB>(-c / a, 0);
	}
	p2 = Point<DB>(p1.x + b, p1.y - a);
	return Line<DB>(p1, p2);
}

// 使用这个东西，Point 必须是 double 等浮点类型
template<class T, class U>
Point<DB> project(Point<T> p, Line<U> l) {
	Point<DB> vec = l.p2 - l.p1;
	//                        这个距离反正早除晚除都要除掉
	DB r = dot(vec, p - l.p1) / ((DB)vec.x * vec.x + vec.y * vec.y);
	return l.p1 + vec * r;
}

template<class T, class U>
Point<T> reflect(Point<T> p, Line<U> l) {
	Point<T> proj = project(p, l);
	return proj + proj - p;
}

mt19937_64 rng(std::chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());

constexpr int ON_SEGMENT = 0;
constexpr int COUNTER_CLOCKWISE = 1;
constexpr int CLOCKWISE = -1;
constexpr int ONLINE_BACK = 2;
constexpr int ONLINE_FRONT = -2;

template<class T, class U>
int CCW(Point<T> p, Line<U> l) {
	Point<DB> a = l.p2 - l.p1;
	Point<DB> b = p - l.p1;
	if (sgn(cross(a, b)) > 0) {
		return COUNTER_CLOCKWISE;
	}
	if (sgn(cross(a, b)) < 0) {
		return CLOCKWISE;
	}
	if (sgn(dot(a, b)) < 0) {
		return ONLINE_BACK;
	}
	if (a.norm() < b.norm()) return ONLINE_FRONT;
	return ON_SEGMENT;
}

template<class T, class U>
bool isOrthogonal(Line<T> a, Line<U> b) {
	auto c = a.p2 - a.p1, d = b.p2 - b.p1;
	return !sgn(dot(c, d));
}

template<class T, class U>
bool isParallel(Line<T> a, Line<U> b) {
	auto c = a.p2 - a.p1, d = b.p2 - b.p1;
	return !sgn(cross(c, d));
}

template<class T, class U>
bool isSegIntersect(Line<T> a, Line<U> b) {
	// 判断线段相交
	return CCW(b.p1, a) * CCW(b.p2, a) <= 0 && CCW(a.p1, b) * CCW(a.p2, b) <= 0;
}

// bool isIntersectStrict(Line a,Line b){    // 判断线段相交
//     return CCW(b.p1,a)*CCW(b.p2,a)<0 && CCW(a.p1,b)*CCW(a.p2,b)<0;
// }
// p+tv=q+sw
// (p-q) x w+tv x w = 0     (利用叉乘乘以自身为0，消掉sw)
// t=-(p-q)x w/(vxw)
// 传入的是方向式  拿到的是两直线交点
template<class T, class U>
Point<DB> getintersect(const Line<T> &a, const Line<U> &b) {
	Point<DB> p = a.p1, v = a.p2 - a.p1, q = b.p1, w = b.p2 - b.p1;
	Point<DB> u = p - q;
	DB t = (DB)cross(w, u) / cross(v, w);
	return p + v * t;
}

// 距离平方（不开方）：旋转卡壳里 ans 反复更新，留到最后一次 sqrt
template<class T, class U>
auto distancePPNorm(const Point<T> &a, const Point<U> &b) {
	return (a - b).norm();
}

// L2 欧几里得距离 (sqrt 版, 用 long double). 整型坐标走 isqrt + fraction 不丢精度.
template<class T, class U>
DB distancePP(const Point<T> &a, const Point<U> &b) {
	return (a - b).abs();
}

// L1 曼哈顿距离 = |dx| + |dy|. 返回类型继承 normL1 (整型 -> __int128_t, 浮点 -> T).
template<class T, class U>
auto distancePPL1(const Point<T> &a, const Point<U> &b) {
	return (a - b).normL1();
}

// Linf 切比雪夫距离 = max(|dx|, |dy|). 返回类型 T.
template<class T, class U>
T distancePPLinf(const Point<T> &a, const Point<U> &b) {
	return (a - b).normLinf();
}

// 也可以用 project 来算
template<class T, class U>
DB distancePL(Point<T> p, Line<U> l) {
	auto val = cross(l.p1, l.p2, p);
	return sgn(val) * val / (l.p2 - l.p1).abs();
}

// AC https://qoj.ac/submission/2001668
template<class T, class U>
DB distancePS(Point<T> p, Line<U> l) {
	// 避免 distanceSS 调用的时候发生这个退化（即线段退化为了点）
	if (l.p1 == l.p2) {
		return (p - l.p1).abs();
	}
	auto t = l.p2 - l.p1;
	if (sgn(dot(t, p - l.p1)) < 0) {
		return (p - l.p1).abs();
	}
	if (sgn(dot(t, p - l.p2)) > 0) {
		return (p - l.p2).abs();
	}
	return distancePL(p, l);
}

// AC https://qoj.ac/submission/2001588
template<class T, class U>
DB distanceSS(Line<T> a, Line<U> b) {
	if (isIntersect(a, b)) return 0;
	return min({distancePS(a.p1, b), distancePS(a.p2, b), distancePS(b.p1, a), distancePS(b.p2, a)});
}

// === polygonSignedArea + polygonArea (espanso :polygonArea, 拆自 :Point)
//     依赖: :Point 基础模板 (用到 cross)
// 多边形 2 倍有向面积 (不除 2 以保持整数精度).
// 返回类型 auto 自动跟 cross 走 (整数 Real → i128, 浮点 Real → Real).
// > 0: CCW; < 0: CW; == 0: 退化 (全共线 / 自交).
// 用途: polygonArea (取 abs / 2 得真面积) / reorder_polygon (取符号判方向).
template<class T>
auto polygonSignedArea(const vector<Point<T> > &poly) {
	auto res = cross(Point<T>(), Point<T>()); // 零值, 类型由 cross 继承
	size_t n = poly.size();
	for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
		res += cross(poly[i], poly[(i + 1) % n]);
	}
	return res;
}

template<class T>
DB polygonArea(const vector<Point<T> > &poly) {
	auto s = polygonSignedArea(poly);
	if (s < 0) s = -s;
	return (DB)s / 2.0;
}

vector<Point<ll> > triangle(3);

void Solve() {
	cin >> triangle[0].y;
	for (int i = 1; i < 3; ++i) {
		cin >> triangle[i];
	}
	auto area = polygonArea(triangle);
	cout << fsp(1) << area << " ";
	Point<ll> ab = triangle[0] - triangle[1], ac = triangle[0] - triangle[2], bc = triangle[1] - triangle[2];
	ll dotAb = __gcd(abs(ab.x), abs(ab.y)) - 1, dotAc = __gcd(abs(ac.x), abs(ac.y)) - 1, dotBc =
			__gcd(abs(bc.x), abs(bc.y)) - 1;
	auto signedArea = polygonSignedArea(triangle);
	if (signedArea < 0) signedArea = -signedArea;
	ll I = (signedArea - (dotAb + dotAc + dotBc + 3) + 2) / 2;
	cout << I << " " << dotAb << " " << dotBc << " " << dotAc << "\n";
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
#ifdef LOCAL
	cout.setf(ios::unitbuf); // 无缓冲流，方便我们调试
#endif

	while (cin >> triangle[0].x && triangle[0].x != -1)
		Solve();
	return 0;
}

/*
AC
https://vjudge.net/solution/70010490

*/

心路历程

调这道签到题反而栽了两个一模一样隐蔽的 off-by-one，而且两个样例都因为是「等腰直角三角形」太对称、把 bug 全藏住了：

Pick 反解少加 1：一开始写成 I = (2S - B + 1) / 2，正确是 I = (2S - B)/2 + 1 = (2S - B + 2)/2。少加的那个 1 在样例 1 里因为整数除法 -1/2 向零截断碰巧得 0、蒙混过关；样例 2 的 1/2 = 0 才露馅（期望是 1）。
输出顺序 AC / BC 写反：题目要 $AB, BC, AC$ ，我手滑写成了 $AB, AC, BC$ 。两个样例三条边整点数全相等，交换看不出来；一旦数据是不规则三角形（ $AC \ne BC$ ）立刻 WA。

教训：对称样例是 off-by-one 的天然伪装。这种题最好自己手造一个三边都不等、内部点也不为 0 的三角形（比如 $A(1,1), B(8,2), C(3,8)$ ， $2S = 47$ 、 $B = 3$ 、 $I = 23$ ）验一遍再交。

附件

segment_lattice_gcd.html.txt

Znzryb's Blog

牛客 15087 - 三角形（Pick 定理 + 格点数）