Znzryb's Blog
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P10469 后缀数组(如何算子串哈希值)

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思路讲解

我们来看看哈希怎么做

参考题解 https://www.luogu.com.cn/article/qpf5y3pt

那么其实最难的就是子串哈希的计算

哈希的递推公式是

hash[i]=s[i]+base∗hash[i−1]hash[i]=s[i]+base*hash[i-1]

由此可得

hash[r]=(s[r]+s[r−1]∗base+⋯+s[l−1]∗baser−l+1+⋯+s[0]∗baser)hash[r]=(s[r]+s[r-1]*base+\cdots+s[l-1]*base^{r-l+1}+\cdots+s[0]*base^{r})

hash[l−1]=(s[l−1]+s[l−2]∗base+⋯+s[0]∗basel−1)hash[l-1]=(s[l-1]+s[l-2]*base+\cdots+s[0]*base^{l-1})

hash[l:r]=(s[r]+s[r−1]∗base+⋯+s[l]∗baser−l)hash[l:r]=(s[r]+s[r-1]*base+\cdots+s[l]*base^{r-l})

可以推得下式（其实可以这么理解，把 hash[l−1]hash[l-1] 左移 r−l+1r-l+1 位）

hash[l:r]=hash[r]−hash[l−1]∗baser−l+1hash[l:r]=hash[r]-hash[l-1]*base^{r-l+1}

至于height数组？直接用定义求，不搞那么多花里胡哨的

当然哈希还是慢了一点

image

下面是快排倍增做法

后缀的问题我们已经解决了，height数组是什么？

image

就是排序好的后缀，当前与上一个相同的前缀最长为多少（如上图所示）

那怎么求那？

运用下面这个定理

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AC代码

AC https://www.luogu.com.cn/record/198571599

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10;
const ll /*mod=static_cast<ll>(1e17)+3,*/base=131;
ll N,T,hashe[MAXN],sa[MAXN],height[MAXN],powBase[MAXN];
string S;

inline ll get_hash(ll a,ll b){
//	if(a<b)
//		return -1;
	// 就是b的哈希值-（a-1）的哈希值取模，对a==0的情况特判了
	return hashe[b]-(a>0?hashe[a-1]:0)*powBase[b-a+1];
}

inline bool comp(ll a,ll b){
	// 使用二分查找来枚举重叠了几位
	ll l=0,r=min(N-a,N-b);
	while (l<r) {
		ll mid=l+r+1>>1;
		if(get_hash(a,a+mid-1)==get_hash(b,b+mid-1)){
			l=mid;
		}else{
			r=mid-1;
		}
	}
	
	if(a+l<N && b+l<N && S[a+l]!=S[b+l]){
		return S[a+l]<S[b+l];
	}
	// 返回长度小的
	return N-a<N-b;
}
inline void get_height(){
	for(int i=1;i<N;++i){
		ll a=sa[i-1],b=sa[i];
		// 使用二分查找来枚举重叠了几位
		ll l=0,r=min(N-a,N-b);
		while (l<r) {
			ll mid=l+r+1>>1;
			if(get_hash(a, a+mid-1)==get_hash(b, b+mid-1)){
				l=mid;
			}else{
				r=mid-1;
			}
		}
		height[i]=l;
	}
}
inline void init(){
	ll val=0;
	for(int i=0;i<N;++i){
		val=base*val+S[i];
		hashe[i]=val;
		sa[i]=i;
	}
	powBase[0]=1;
	for(int i=1;i<=N+5;++i){
		powBase[i]=powBase[i-1]*base;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=S.size();
	init();
	sort(sa, sa+N, comp);
	for(int i=0;i<N;++i)
		cout<<sa[i]<<' ';
	cout<<'\n';
	get_height();
	for(int i=0;i<N;++i)
		cout<<height[i]<<' ';
	cout<<'\n';
}
/*
ponoiiipoi
AC https://www.luogu.com.cn/record/198571599
*/

AC 倍增法

https://www.luogu.com.cn/record/198379595

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(3e5)+117;

char S[MAXN];
// rk为第i个后缀子串排第几？  
ll rk[MAXN],sa[MAXN],tmp[MAXN],height[MAXN];
ll N;
int K;
bool comp_sa(ll a,ll b){
	if(rk[a]!=rk[b]){
		return rk[a]<rk[b];
	}else{
		int ra= a+K<=N ? rk[a+K]:-1;
		int rb= b+K<=N ? rk[b+K]:-1;
		return ra<rb;
	}
}

void cal_sa(){	// 计算后缀数组
	// tmp要访问到第N个数
	for(int i=0;i<=N;++i){
		rk[i]=i<N ? S[i]:-1;
		sa[i]=i;	// 还没有排序的后缀数组
	}
	for(K=1;K<=N;K=K*2){
		sort(sa, sa+N, comp_sa);
		// 排在sa最前面的rk肯定也是最前面的
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<N;++i){
			// tmp[sa[0]]排第一个，tmp[sa[0]]为第
			//                       如果确实小，rk+1（因为这个rk要排logn次，不是一次排出来的）
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+(comp_sa(sa[i], sa[i+1]) ? 1:0);
		}
		for(int i=0;i<N;++i){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

void getHeight(){
	for(int i=0;i<N;++i){
		rk[sa[i]]=i;
	}
	for(int i=0,k=0;i<N;++i){
		if(rk[i]==0) continue;
		if(k) k--;
		int j=sa[rk[i]-1];	// 前面一个序列的起始位置
		while (i+k<N && j+k<N && S[i+k]==S[j+k]) k++;
		height[rk[i]]=k;
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=strlen(S);
	cal_sa();
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<sa[i]<<' ';
	}
	cout<<'\n';
	getHeight();
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<height[i]<<' ';
	}
	cout<<'\n';
	return 0;
}
/*
00000

5 4 3 2 1
AC https://www.luogu.com.cn/record/198379595
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

WA

https://www.luogu.com.cn/record/198357917

字符串哈希WA了一次，主要原因是整型溢出

https://www.luogu.com.cn/record/198561313

解决方法竟然是不管？用整形溢出自然取整？我不理解，但我大受震撼