Znzryb's Blog
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ABC-383-F - Diversity

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思路讲解

ABC-390-E - Vitamin Balance

我感觉很像这道题，因为我就只要背包分成几块就好了

但是又有点问题，合起来的过程需要枚举非常多次，那道题只要合并3个背包就好了，我们要合并500个背包，想想就TLE

所以这种问题一般就别想裸的背包合并，需要使用类似于向斜下方走的dp

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比较简单的来讲，类似于CF-994-D. Shift + Esc （多变量优化dp）

需要关注一下颜色之间的转移以及最优状态

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FOR(i,1,idx){
	FOR(j,Len[i].fi,Len[i].se){
		ll yen=T[j].yen,val=T[j].u;
		ROF(k,Vol,1){
			if(k<yen){
				dp[i][k]=max(dp[i-1][k],dp[i][k]);
			}else{
				dp[i][k]=max({dp[i][k],dp[i][k-yen]+val,dp[i-1][k-yen]+K+val,dp[i-1][k]});
			}
		}
	}
}
cout<<dp[idx][Vol]<<'\n';

AC代码

AC

https://atcoder.jp/contests/abc383/submissions/62392605

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// Problem: F - Diversity
// Contest: AtCoder - Daiwa Securities Co. Ltd. Programming Contest 2024（AtCoder Beginner Contest 383）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc383/tasks/abc383_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
const ll MAXN=510,INF=static_cast<ll>(5e18)+3;

ll N,Vol,K;
arr A[MAXN];
//   color   volume
ll dp[MAXN][50010];	// most utility

inline bool cmp(arr a,arr b){	// 按照颜色排序
	return a[2]<b[2];
}
struct Things{
	ll yen,u,c;
}T[MAXN];
pll Len[MAXN];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>N>>Vol>>K;
	// SumUtility+TdifferentColor*K
	FOR(i, 1, N){	// yen Utility color
		cin>>A[i][0]>>A[i][1]>>A[i][2];
	}
	sort(&A[1],&A[N+1],cmp);
	ll idx=0;
	
	T[1].yen=A[1][0],T[1].u=A[1][1],T[1].c=++idx;
	FOR(i,2,N){
		if(A[i-1][2]!=A[i][2]){	// 重新映射颜色
			T[i].c=++idx;
		}else{
			T[i].c=idx;
		}
		T[i].yen=A[i][0],T[i].u=A[i][1];
	}
	Len[1].fi=1;
	Len[idx].se=N;
	FOR(i,2,N){
		if(T[i].c!=T[i-1].c){
			Len[T[i-1].c].se=i-1;
			Len[T[i].c].fi=i;
		}
	}
	
	FOR(i,1,idx){
		FOR(j,Len[i].fi,Len[i].se){
			ll yen=T[j].yen,val=T[j].u;
			ROF(k,Vol,1){
				if(k<yen){
					dp[i][k]=max(dp[i-1][k],dp[i][k]);
				}else{
					dp[i][k]=max({dp[i][k],dp[i][k-yen]+val,dp[i-1][k-yen]+K+val,dp[i-1][k]});
				}
			}
		}
	}
	cout<<dp[idx][Vol]<<'\n';
	return 0;
}
/*
AC
https://atcoder.jp/contests/abc383/submissions/62392605
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

记忆化搜索超时

这个时间复杂度可以这么估计，每个combDp都是由 ROF(i,Vol-usedVol,0) 生成的，空间乘以这个循环次数自然就是时间复杂度了

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// memorized search
ll dfs(ll curCol,ll usedVol){
	if(curCol>colLim) return 0;
	if(usedVol>=Vol) return 0;
	if(combDp[curCol][usedVol]!=-1) return combDp[curCol][usedVol];
	ll res=0;
	ROF(i,Vol-usedVol,0){
		ll lres=0;
		if(dp[curCol][i]==0){
			lres=dfs(curCol+1,usedVol);
			res=max(lres,res);
			break;
		}
		lres=dp[curCol][i]+K;
		lres+=dfs(curCol+1,usedVol+i);
		res=max(lres,res);
	}
	combDp[curCol][usedVol]=res;
	return res;
}

https://atcoder.jp/contests/abc383/submissions/62385966

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// Problem: F - Diversity
// Contest: AtCoder - Daiwa Securities Co. Ltd. Programming Contest 2024（AtCoder Beginner Contest 383）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc383/tasks/abc383_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
const ll MAXN=510,INF=static_cast<ll>(5e18)+3;

ll N,Vol,K;
arr A[MAXN];
//   color   volume
ll dp[MAXN][50010];	// most utility

inline bool cmp(arr a,arr b){	// 按照颜色排序
	return a[2]<b[2];
}
struct Things{
	ll yen,u,c;
}T[MAXN];
pll Len[MAXN];
ll combDp[MAXN][50010];
ll colLim;
// memorized search
ll dfs(ll curCol,ll usedVol){
	if(curCol>colLim) return 0;
	if(usedVol>=Vol) return 0;
	if(combDp[curCol][usedVol]!=-1) return combDp[curCol][usedVol];
	ll res=0;
	ROF(i,Vol-usedVol,0){
		ll lres=0;
		if(dp[curCol][i]==0){
			lres=dfs(curCol+1,usedVol);
			res=max(lres,res);
			break;
		}
		lres=dp[curCol][i]+K;
		lres+=dfs(curCol+1,usedVol+i);
		res=max(lres,res);
	}
	combDp[curCol][usedVol]=res;
	return res;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>N>>Vol>>K;
	// SumUtility+TdifferentColor*K
	FOR(i, 1, N){	// yen Utility color
		cin>>A[i][0]>>A[i][1]>>A[i][2];
	}
	sort(&A[1],&A[N+1],cmp);
	ll idx=0;
	
	T[1].yen=A[1][0],T[1].u=A[1][1],T[1].c=++idx;
	FOR(i,2,N){
		if(A[i-1][2]!=A[i][2]){	// 重新映射颜色
			T[i].c=++idx;
		}else{
			T[i].c=idx;
		}
		T[i].yen=A[i][0],T[i].u=A[i][1];
	}
	Len[1].fi=1;
	Len[idx].se=N;
	FOR(i,2,N){
		if(T[i].c!=T[i-1].c){
			Len[T[i-1].c].se=i-1;
			Len[T[i].c].fi=i;
		}
	}
	
	// FOR(i,1,idx){
		// cerr<<Len[i].fi<<' '<<Len[i].se<<'\n';
	// }
	// cerr<<T[3].yen<<' '<<T[3].c<<'\n';
	
	FOR(i,1,idx){
		FOR(j,Len[i].fi,Len[i].se){
			ll yen=T[j].yen,val=T[j].u;
			ROF(k,Vol,1){
				if(k<yen) break;
				dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[i][k-yen]+val);
			}
		}
	}
	
	// FOR(i,1,idx){
		// FOR(j,1,Vol){
			// cerr<<dp[i][j]<<' ';
		// }
		// cerr<<'\n';
	// }
	
	colLim=idx;
	FOR(i,0,idx){	// 初始化combDp
		FOR(j,0,Vol){
			combDp[i][j]=-1;
		}
	}
	
	FOR(i,1,idx){
		cerr<<dp[i][0]<<'\n';
	}
	
	cout<<dfs(1,0)<<'\n';
	return 0;
}
/*

*/

用二分稍微优化了一点，多过了一些点

http://atcoder.jp/contests/abc383/submissions/62387360

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// Problem: F - Diversity
// Contest: AtCoder - Daiwa Securities Co. Ltd. Programming Contest 2024（AtCoder Beginner Contest 383）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc383/tasks/abc383_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
const ll MAXN=510,INF=static_cast<ll>(5e18)+3;

ll N,Vol,K;
arr A[MAXN];
//   color   volume
ll dp[MAXN][50010];	// most utility

inline bool cmp(arr a,arr b){	// 按照颜色排序
	return a[2]<b[2];
}
struct Things{
	ll yen,u,c;
}T[MAXN];
pll Len[MAXN];
ll combDp[MAXN][50010];
ll colLim;
// memorized search
ll dfs(ll curCol,ll usedVol){
	if(curCol>colLim) return 0;
	if(usedVol>=Vol) return 0;
	if(combDp[curCol][usedVol]!=-1) return combDp[curCol][usedVol];
	ll res=0;
	res=dfs(curCol+1,usedVol);	// 直接跳过该颜色
	ll flag=1;
	while(true){
		ll idx=lower_bound(&dp[curCol][1],&dp[curCol][Vol-usedVol+1],flag)-&dp[curCol][0];
		if(idx==Vol-usedVol+1) break;
		ll lres=dp[curCol][idx]+K;
		lres+=dfs(curCol+1,usedVol+idx);
		res=max(res,lres);
		flag=dp[curCol][idx+1]+1;
	}
	combDp[curCol][usedVol]=res;
	return res;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>N>>Vol>>K;
	// SumUtility+TdifferentColor*K
	FOR(i, 1, N){	// yen Utility color
		cin>>A[i][0]>>A[i][1]>>A[i][2];
	}
	sort(&A[1],&A[N+1],cmp);
	ll idx=0;
	
	T[1].yen=A[1][0],T[1].u=A[1][1],T[1].c=++idx;
	FOR(i,2,N){
		if(A[i-1][2]!=A[i][2]){	// 重新映射颜色
			T[i].c=++idx;
		}else{
			T[i].c=idx;
		}
		T[i].yen=A[i][0],T[i].u=A[i][1];
	}
	Len[1].fi=1;
	Len[idx].se=N;
	FOR(i,2,N){
		if(T[i].c!=T[i-1].c){
			Len[T[i-1].c].se=i-1;
			Len[T[i].c].fi=i;
		}
	}
	
	FOR(i,1,idx){
		FOR(j,Len[i].fi,Len[i].se){
			ll yen=T[j].yen,val=T[j].u;
			ROF(k,Vol,1){
				if(k<yen) break;
				dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[i][k-yen]+val);
			}
		}
	}
	
	colLim=idx;
	FOR(i,0,idx){	// 初始化combDp
		FOR(j,0,Vol){
			combDp[i][j]=-1;
		}
	}
	
	cout<<dfs(1,0)<<'\n';
	return 0;
}
/*

*/

无法通过样例三

这个代码的问题在于dp[j-yen].c==0时，都会+K，

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FOR(i,1,N){	// 枚举物品
	ll yen=T[i].yen,c=T[i].c,val=T[i].u;	// 养成好习惯
	ROF(j,Vol,1){
		if(j<yen) break;
		if(dp[j-yen].c<c){	// 这个代码的问题在于dp[j-yen].c==0
			if(dp[j-yen].val+val+K>dp[j].val){
				dp[j].val=dp[j-yen].val+val+K;
				dp[j].c=c;
			}
		}else{
			dp[j].val=max(dp[j-yen].val+val,dp[j].val);
		}
		
		// cerr<<j<<' '<<T[i].yen<<' '<<T[i].u<<' '<<T[i].c<<' '<<dp[j].val<<' '<<dp[j].c<<'\n';
		
	}
}
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// Problem: F - Diversity
// Contest: AtCoder - Daiwa Securities Co. Ltd. Programming Contest 2024（AtCoder Beginner Contest 383）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc383/tasks/abc383_f
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i, a, b) for (int i = a; i <= b; ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = a; i >= b; --i)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define debug(x) cerr<<x<<'\n'
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
const ll MAXN=510,INF=static_cast<ll>(5e18)+3;

ll N,Vol,K;
arr A[MAXN];
struct DP{
	ll val,c;
};
//      volume 
DP dp[50010];

inline bool cmp(arr a,arr b){	// 按照颜色排序
	return a[2]<b[2];
}
struct Things{
	ll yen,u,c;
}T[MAXN];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>N>>Vol>>K;
	// SumUtility+TdifferentColor*K
	FOR(i, 1, N){	// yen Utility color
		cin>>A[i][0]>>A[i][1]>>A[i][2];
	}
	sort(&A[1],&A[N+1],cmp);
	// ll idx=0;
	// T[1].yen=A[1][0],T[1].u=A[1][1],T[1].c=++idx;
	// FOR(i,2,N){
		// if(A[i-1][2]!=A[i][2]){	// 重新映射颜色
			// T[i].c=++idx;
		// }else{
			// T[i].c=idx;
		// }
		// T[i].yen=A[i][0],T[i].u=A[i][1];
	// }
	CLR(dp,0);
	// FOR(i,1,N){
		// cerr<<A[i][0]<<' '<<A[i][1]<<' '<<A[i][2]<<'\n';
	// }
	FOR(i,1,N){	// 枚举物品
		ll yen=A[i][0],c=A[i][2],val=A[i][1];	// 养成好习惯
		ROF(j,Vol,1){
			if(j<yen) break;
			if(dp[j-yen].c<c){	
				if(dp[j-yen].val+val+K>dp[j].val){
					dp[j].val=dp[j-yen].val+val+K;
					dp[j].c=c;
				}
			}else{
				if(dp[j-yen].val+val>dp[j].val){
					dp[j].val=dp[j-yen].val+val;
					dp[j].c=c;
				}
			}
			// cerr<<j<<' '<<T[i].yen<<' '<<T[i].u<<' '<<T[i].c<<' '<<dp[j].val<<' '<<dp[j].c<<'\n';
			
		}
	}
	FOR(i,0,Vol){
		cerr<<i<<' '<<dp[i].val<<' '<<dp[i].c<<'\n';
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