ABC-382-E - Expansion Packs

思路讲解

参考以下题解：

https://www.luogu.com.cn/article/z6wql8q2

FOR(i,1,N){cin>>P[i];}
FOR(i,0,N){		// 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
	FOR(j,0,N){
		if(i>0 && j>0){
			//				这第i张没出货			第i张出货了
			dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0)+dp[i-1][j-1]*(P[i]/100.0);
		}else if(j==0 && i>0){
			dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0);
		}else if(i==0 && j==0){	
			dp[i][j]=1.0;
		}else{ // 剩下的抽0张卡，获得>0张卡的概率自然是0
			dp[i][j]=0;
		}
	}
}

前面这个求抽到第 i 张卡，有多大的概率恰好抽到 j 张稀有卡，还是不难的。

但是这道题目要求的是抽到至少 X 张卡的数学期望，这个的转移有点难，也有点难想。

$$exp_i=1+\displaystyle\sum_{j=0}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]$$

( $ exp_i$ 代表抽到至少 i 张的期望包数，$dp[N][j]$ 代表该包抽到恰好 j 张稀有卡的概率 )

这个式子初看很难理解，其实细看之下，还是不那么难理解的，1是我这次抽，所以 $+1$，但是我们是要转移的，需要从别的情况转移过来，那从哪些情况那？其实就是从 $\displaystyle\sum_{j=0}^{N}exp_{max(0,i-j)}$ 这些情况转移过来，但是这些转移是有概率的，多大的概率那？$dp[N][j]$。

当然因为左右两边都包含 $exp_i$ 其实我们还要进行一个移项。

$$exp_i=1+exp_i\times dp[N][0]+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]\\ exp_i(1-dp[N][0])=1+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j]\\ exp_i=(1+\displaystyle\sum_{j=1}^{N}exp_{max(0,i-j)}\times dp[N][j])\ /\ (1-dp[N][0])$$

你可能会说，我还是不理解这个 $+1$，或者为什么不是直接用 $X/每包的期望稀有卡数量$。那么我问你，这个得到至少一张稀有卡的期望可能小于 1 吗？不可能吧，因为不可能一包卡都不开就拿到了一张稀有卡吧？所以其实这个 $+1$ 就是这里的转移必须要用开卡包来转移。

AC代码

https://atcoder.jp/contests/abc382/submissions/65982174

源代码

// Problem: E - Expansion Packs
// Contest: AtCoder - AtCoder Beginner Contest 382
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc382/tasks/abc382_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// by znzryb
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define getFro(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define getBac(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define DEBUG(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":"; \
        for (const auto& elem : variable) { \
            std::cerr << elem << " "; \
        } \
        std::cerr << "\n"; \
    } while (0)
#define uniVec(var) \
    do { \
        sort(var.begin(),var.end());\
        var.resize(unique(var.begin(),var.end())-var.begin());\
    } while (0)
#define debugN(var,N) \
	do{ \
		std::cerr<<#var<<":"; \
		FOR(i,1,N){ \
			std::cerr<<var[i]<<" "; \
		} \
		std::cerr<<"\n"; \
	}while(0)
#define debugMap(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":\n"; \
        for (const auto& pair : variable) { \
            std::cerr << "  " << pair.first << " => " << pair.second << "\n"; \
        } \
        std::cerr << std::endl; \
    } while (0)
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef pair<DB,DB> pdd;
typedef pair<ll,bool> plb;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e18)+3;
constexpr ll mod=static_cast<ll>(1e9)+7;
constexpr double eps=1e-8;

ll N,X,M,K,T,P[MAXN];
// 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
DB dp[5010][5010];
DB Exp[5010];
/*
gi:期望抽gi次.抽出至少i张稀有卡
fi:一包卡恰好有：i张稀有卡概率
*/
inline void solve(){
	cin>>N>>X;
	FOR(i,1,N){cin>>P[i];}
	FOR(i,0,N){		// 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
		FOR(j,0,N){
			if(i>0 && j>0){
				//				这第i张没出货			第i张出货了
				dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0)+dp[i-1][j-1]*(P[i]/100.0);
			}else if(j==0 && i>0){
				dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1.0-P[i]/100.0);
			}else if(i==0 && j==0){	
				dp[i][j]=1.0;
			}else{ // 剩下的抽0张卡，获得>0张卡的概率自然是0
				dp[i][j]=0;
			}
		}
	}

#ifdef LOCAL
    FOR(i,0,N){		// 抽到第i张卡，有多大的概率抽到j张稀有卡
		FOR(j,0,N){
			cerr<<dp[i][j]<<" ";
		}
		cerr<<"\n";
	}
#endif
	// gi:期望抽gi次.抽出至少i张稀有卡
	// G[0]=0;
	FOR(i,1,X){
		DB sum=0;
		FOR(j,1,N){
			if(i-j<0) break;
			sum+=dp[N][j]*Exp[i-j];
		}
		Exp[i]=(1+sum)/(1-dp[N][0]);
	}
	cout<<setprecision(15)<<fixed<<Exp[X]<<"\n";
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	// cin>>T;
	// while(T--){
		// solve();
	// }
	solve();
	return 0;
}
/*
AC https://atcoder.jp/contests/abc382/submissions/65982174
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）