CF-1023-D. Apple Tree Traversing

思路讲解

题意就是所有点只能经过一次（选择一次），构造出字典序最大的 $(dis,u,v)$ 序列，输出这个序列。

注意到，距离是放在第一位的，所以我们肯定优先选择距离最大的。那在树上路径距离最大的是什么？树的直径呗。不过这个树的直径的取法需要优先选择大的起始点和终止点。

然后删除直径后，这张图就不联通了，只要在每个子图中我们遵循这种删除规律即可，最后形成的 ans 数组根据字典序规则排序即可。

以下是样例五的图示展示，第一层删完后，变为了两个子图，这两个子图仍然按照规则选择直径，删除直径上的点，整张图被删完后程序结束。

时间复杂度分析

枚举总量为 $n+(n-l_1)+(n-l_1-l_2)+\cdots+(n-l_c-\cdots-l_i-\cdots l_1)$，即 $n\times c -l_1 \times c-l_2 \times (c-1)-\cdots-l_c$，也就是，其中 $n$ 为点的数量，$l_i$ 为第 i 层的直径总数，c 为总层数。枚举总量在逐层下降是因为每层选择的直径上的点会被删除。

n 是给定的，那么我们假设 c 最大，那么 c 最大的情况是什么呢？

c 最大的情况，就是我们每层只能删除一条直径，也就是说该图在删除直径的过程中一直保持着联通状态。把层数卡满的图可以这样构造，注意到，$分枝直径的点的数量≤\lfloor直径的点的数量/2\rfloor$，如果大于这个限制，该分枝就要被删除了。

那么近似的，我们可以得到。

$$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2^2}+\cdots+\frac{x}{2^c}=n$$

由于$\lfloor\frac{x}{2^c}\rfloor$必须大于 $0$，我们知道 $2^c≤x<2^{c+1}$。

那么不妨令 $x=2^{c+1}$。

$$2^{c+1}+2^c+\cdots+2=n$$

运用等比数列求和公式。

$$2\times(2^{c+1}-1)=n$$

因此，$c\approx \log(n)$。

故该算法的总体时间复杂度为$O(nlogn)$。

AC代码

https://codeforces.com/contest/2107/submission/318737306

源代码

// Problem: D. Apple Tree Traversing
// Contest: Codeforces - Codeforces Round 1023 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/2107/problem/D
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 5000 ms
// by znzryb
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define getFro(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define getBac(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define deShow(var) cerr << #var <<":";
#define DEBUG(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":"; \
        for (const auto& elem : variable) { \
            std::cerr << elem << " "; \
        } \
        std::cerr << "\n"; \
    } while (0)
#define uniVec(var) \
    do { \
        sort(var.begin(),var.end());\
        var.resize(unique(var.begin(),var.end())-var.begin());\
    } while (0)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,2> arr;
typedef double DB;
typedef pair<DB,DB> pdd;
typedef pair<ll,bool> plb;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10,INF=static_cast<ll>(1e18)+3;
constexpr ll mod=static_cast<ll>(1e9)+7;
constexpr double eps=1e-8;

ll N,M,K,T;
vector<ll> g[MAXN];
bool vis[MAXN]/*,isVal[MAXN]*/;
vector<arr> disNode;
vector<ll> needDel;
ll st,ed,d;
set<ll> nodes;
bool removed[MAXN];

void dfs(ll x,ll d){
	disNode.pb({d,x});
	vis[x]=true;
	FOR(i,0,SZ(g[x])-1){
		ll node=g[x][i];
		if(vis[node]) continue;
		if(removed[node]) continue;
		dfs(node,d+1);
	}
}
bool dfsDia(ll x){	// 一个比较简单的树上dp？
	vis[x]=true;
	if(x==ed){
		needDel.pb(ed);
		return true;
	}
	bool rec=false;
	FOR(i,0,SZ(g[x])-1){
		ll node=g[x][i];
		if(vis[node]) continue;
		if(removed[node]) continue;
		rec|=dfsDia(node);
	}
	if(rec) needDel.pb(x);
	return rec;
}

inline void init(){
	disNode.clear(),needDel.clear();
	FOR(i,1,N){
		vis[i]=false;
	}
}

inline bool cmp(const array<ll,3> &a,const array<ll,3> &b){
	if(a[0]!=b[0]) return a[0]>b[0];
	if(a[1]!=b[1]) return a[1]>b[1];
	return a[2]>b[2];
}

inline void solve(){
	cin>>N;
	// 所有点只能经过一次（选择一次）
	// 构造出字典序最大的(d,u,v)序列，输出这个序列
	// d要大，u要大，v要大
	disNode.clear(),needDel.clear(),nodes.clear();
	FOR(i,1,N){
		vis[i]=false;
		nodes.insert(i);
		g[i].clear();
		removed[i]=false;
	}
	FOR(i,1,N-1){
		ll u,v;
		cin>>u>>v;
		g[u].pb(v);
		g[v].pb(u);
	}
	if(N==1){	// 特判
		cout<<"1 1 1\n";
		return;
	}
	dfs(1,0);
	sort(all(disNode));
	
#ifdef LOCAL
	deShow(disNode)
    FOR(i,0,SZ(disNode)-1){
    	cerr<<disNode[i][0]<<" "<<disNode[i][1]<<"\n";
    }
#endif

	st=disNode.back()[1];
	init();
	dfs(st,0);
	sort(all(disNode));
	ed=disNode.back()[1];
	d=disNode.back()[0];
	init();
	dfsDia(st);
	vector<array<ll,3>> ans;
	ans.pb({d+1,max(st,ed),min(st,ed)});
	for(const auto &node:needDel){
		nodes.erase(node);
		removed[node]=true;
	}
	for(const auto &node:nodes){
		vis[node]=false;
	}
	while(!nodes.empty()){
		disNode.clear(),needDel.clear();
		dfs(*nodes.begin(),0);
		sort(all(disNode));
		st=disNode.back()[1];
		FOR(i,0,SZ(disNode)-1){
			vis[disNode[i][1]]=false;
		}
		disNode.clear(),needDel.clear();
		dfs(st,0);
		sort(all(disNode));
		ed=disNode.back()[1];
		d=disNode.back()[0];
		ans.pb({d+1,max(st,ed),min(st,ed)});
		FOR(i,0,SZ(disNode)-1){
			vis[disNode[i][1]]=false;
		}
		dfsDia(st);
		FOR(i,0,SZ(disNode)-1){
			vis[disNode[i][1]]=false;
		}
		for(const auto &node:needDel){
			nodes.erase(node);
			removed[node]=true;
		}
	}
	sort(all(ans),cmp);
	FOR(i,0,SZ(ans)-1){
		cout<<ans[i][0]<<" "<<ans[i][1]<<" "<<ans[i][2]<<" ";
	}
	cout<<"\n";
#ifdef LOCAL
    DEBUG(needDel);
    cerr<<"\n";
#endif
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>T;
	while(T--){
		solve();
	}
	// solve();
	return 0;
}
/*
AC
https://codeforces.com/contest/2107/submission/318737306
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）