ABC-402-E - Payment Required（酷似背包的状压dp）

思路讲解

我勒个豆，比赛的时候没注意到，这个 $N\le8$。那么其实就很清楚了，状压dp。

首先呢，这个是不能用背包的，这是一个多重背包，乃至于多重都不一定是，因为如果这道题目他做出来了，他就可以不提交了。

状态转移是这样的，如果第 i 个物品在已经做出的题目清单（即状态s）中，那么他可以从已经做出来的状态转移，也可以从没有做出来的状态转移。

$$dp[x][s]=max({(dp[x-cost][s-(1<<(idx-1))]+score)*poss+dp[x-cost][s]*(1-poss),dp[x][s]})$$

那么如果不在已经做出的题目清单（即状态s）中，那么只能从没做出来的状态转移过来，即

$dp[x][s]=max(dp[x][s],dp[x-cost][s]*(1-poss));$

DB ans=0;
for(int x=1;x<=X;++x){
	// 通过的题目集合
	for(int s=1;s<=(1<<N);++s){
		ll ops=s;
		for(int idx=1;idx<=N;++idx){
			ll score=Prob[idx][0],cost=Prob[idx][1];DB poss=Prob[idx][2]/100.0;
			if(x<cost) {continue;}
			if((1<<(idx-1))>s) break;
			if((1<<(idx-1)|s)==s ){
				dp[x][s]=max({(dp[x-cost][s-(1<<(idx-1))]+score)*poss+dp[x-cost][s]*(1-poss),dp[x][s]});
			}else{
				//                      从没做出来转移过来
				dp[x][s]=max(dp[x][s],dp[x-cost][s]*(1-poss));
			}
		}
		ans=max(ans,dp[x][s]);
	}
}

AC代码

https://atcoder.jp/contests/abc402/submissions/66038452

源代码

// Problem: E - Payment Required
// Contest: AtCoder - Tokio Marine & Nichido Fire Insurance Programming Contest 2025  (AtCoder Beginner Contest 402)
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc402/tasks/abc402_e
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// by znzryb
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define CLR(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define SZ(a) ((int) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define getFro(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define getBac(vec) (vec.empty()?0:vec.front())
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define DEBUG(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":"; \
        for (const auto& elem : variable) { \
            std::cerr << elem << " "; \
        } \
        std::cerr << "\n"; \
    } while (0)
#define uniVec(var) \
    do { \
        sort(var.begin(),var.end());\
        var.resize(unique(var.begin(),var.end())-var.begin());\
    } while (0)
#define debugN(var,N) \
	do{ \
		std::cerr<<#var<<":"; \
		FOR(i,1,N){ \
			std::cerr<<var[i]<<" "; \
		} \
		std::cerr<<"\n"; \
	}while(0)
#define debugMap(variable) \
    do { \
        std::cerr << #variable << ":\n"; \
        for (const auto& pair : variable) { \
            std::cerr << "  " << pair.first << " => " << pair.second << "\n"; \
        } \
        std::cerr << std::endl; \
    } while (0)
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) ((var<<1)+1)

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr3;
typedef array<ll,2> arr2;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef pair<DB,DB> pdd;
typedef pair<ll,bool> plb;
constexpr ll MAXN=static_cast<ll>(1e4)+10,INF=static_cast<ll>(1e18)+3;
constexpr ll mod=static_cast<ll>(1e9)+7;
constexpr double eps=1e-8;

ll N,M,Q,X,K,T;
arr3 Prob[MAXN];
DB dp[5010][(1<<9)+5];
/*

*/
inline void solve(){
	cin>>N>>X;
	FOR(i,1,N){
		ll s,c,p;
		cin>>s>>c>>p;
		Prob[i][0]=s;
		Prob[i][1]=c;
		Prob[i][2]=p;
	}
	DB ans=0;
	for(int x=1;x<=X;++x){
		// 通过的题目集合
		for(int s=1;s<=(1<<N);++s){
			ll ops=s;
			for(int idx=1;idx<=N;++idx){
				ll score=Prob[idx][0],cost=Prob[idx][1];DB poss=Prob[idx][2]/100.0;
				if(x<cost) {continue;}
				if((1<<(idx-1))>s) break;
				if((1<<(idx-1)|s)==s ){
					dp[x][s]=max({(dp[x-cost][s-(1<<(idx-1))]+score)*poss+dp[x-cost][s]*(1-poss),dp[x][s]});
				}else{
					//                      从没做出来转移过来
					dp[x][s]=max(dp[x][s],dp[x-cost][s]*(1-poss));
				}
			}
			ans=max(ans,dp[x][s]);
		}
	}
	cout<<setprecision(9)<<fixed<<ans<<"\n";
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	// cin>>T;
	// while(T--){
		// solve();
	// }
	solve();
	return 0;
}
/*
AC
https://atcoder.jp/contests/abc402/submissions/66038452
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）