ABC-419-E - Subarray Sum Divisibility（len连续段和都是M倍数的所需最少操作数，操作是让一个元素增加1）

思路讲解

$(A[1]+\dots+A[len]) \bmod M = 0$

$(A[2]+\dots+A[len+1]) \bmod M = 0$

$(-A[1]+A[len+1])\bmod M=0$

$Sum_{i+L}≡Sum_i(\bmod M)(∀i=0,…,N−L).$

https://chatgpt.com/c/68a1e9d2-d4f4-832a-bc89-13ae40f158c5

br 是指的差值的模（模M）。具体来讲，就是 $(-A[1]+A[len+1])\bmod M=0$ ，$(-A[0]+A[len])\bmod M=0$ 这种位置很多，他们成周期性出现，即是：

$b_1=A[1]\bmod M=A[len+1]\bmod M=A[2len+1]\bmod M \cdots$

那么，不难发现，除了要满足传递性，还要满足初始条件，即：

$b_1+b_2​+⋯+b_{len}​≡0 \pmod M$

然后可以定义一个dp数组，$dp[i][j]$ 表示已经选了前 i 个数字，且 $sum\equiv j\pmod M$ 所需的代价为几（$sum=b_1+b_2+\cdots+b_i$）？

为了快速计算这个dp，可以使用一个辅助数组$g[i][j]$ 是指$b[i]$ 到达$b[i]\equiv j \pmod M$ 所需要的总代价。朴素计算需要$O(LM \frac{N}{L}) \Rightarrow O(MN)$ （ 好像还可以？）

AC代码

https://atcoder.jp/contests/abc419/submissions/68614283

源代码

// by Gospel_rock
#include <bits/stdc++.h>
#include <numeric>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define EM emplace
#define FI first
#define SE second
#define pct __builtin_popcountll
#define ctz __builtin_ctzll
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (long long i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (long long i = (a); i >= (b); --i)
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define cend cerr<<"\n-----------\n"
#define lson(var) (var<<1)
#define rson(var) (var<<1|1)
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)
#define minn(vec) *min_element(vec.begin(),vec.end()) 
#define maxx(vec) *max_element(vec.begin(),vec.end())
using namespace std;
#ifdef LOCAL 
template<typename T> void _print(T x) { cerr << x; }
// 可以打印多层数组，但是格式不是很好
template<typename T> void _print(vector<T> v) { cerr << "[ "; for (T i : v) _print(i), cerr << " "; cerr << "]"; }
template<typename T> void _print(set<T> s) { cerr << "{ "; for (T i : s) _print(i), cerr << " "; cerr << "}"; }
template<typename T, typename U> void _print(pair<T, U> p) { cerr << "{"; _print(p.first); cerr << ", "; _print(p.second); cerr << "}"; }
template<typename T, typename U> void _print(map<T, U> m) { cerr << "{ "; for (auto &p : m) _print(p), cerr << " "; cerr << "}"; }
// 打印两层数组，格式好一些
template<typename T> void _print(vector<vector<T>> v){cerr<<"{\n";for (auto i : v) _print(i), cerr << "\n";cerr<<" }";}
#endif

using  ll = long long;using ull = unsigned long long;
using DB=double;using LD=long double;
using i128 = __int128;
using pdd = pair<DB,DB>;using plb = pair<ll,bool>;
using pll = pair<ll,ll>;using vll=vector<ll>;using vb=vector<bool>;
using tll = tuple<ll,ll,ll>;using vii=vector<int>;
using vpll = vector<pll>;using vtll = vector<tll>;
using vdb = vector<DB>;using vc=vector<char>;
using arr3 = array<ll,3> ;using arr2 = array<ll,2>;
using CD=complex<double>;
static constexpr ll MAXN=(ll)1e6+10,INF=(ll)1e17+3; // 1e17+3是素数 1e18+9是素数
static constexpr ll mod=(ll)1e9+7; // 998244353;
static constexpr double eps=1e-8;const double pi=acos(-1.0);
ll N,M,Q,X,K,T,lT,L;

inline void __();
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    
    // cin>>lT;
    // while(lT--)
        __();
    return 0;
}
/*
a1+...+al
a2+...+al+1     al+1 - a1 % M ==0
*/
inline ll MOD(const ll &a,const ll &b){
    ll res=a%b;
    if(res<0) res+=b;
    return res;
}
inline void __(){
    cin>>N>>M>>L;
    vll A(N+5);
    FOR(i,1,N){
        cin>>A[i];
    }
    // 为了快速计算这个dp，可以使用一个辅助数组$g[i][j]$ 是指$b[i]$ 到达$b[i]\equiv j \pmod M$ 所需要的总代价。朴素计算需要$O(LM \frac{N}{L}) \Rightarrow O(MN)$ （ 好像还可以？）
    vector<vll> g(L+5,vll(M+5));
    auto cal=[&](ll x,ll obj){
        // if(MOD(x,M)==obj) return 0ll;
        if(x/M*M+obj>=x){
            return x/M*M+obj-x;
        }else{
            return (x+M-1)/M*M+obj-x;
        }
    };
    FOR(i,1,L){
        FOR(j,0,M-1){
            ll res=0;
            for(int p=i;p<=N;p+=L){
                res+=cal(A[p],j);
            }
            g[i][j]=res;
        }
    }
    vector<vll> dp(L+5,vll(M+5,INF));
    dp[0][0]=0;
    FOR(i,1,L){
        FOR(sum,0,M-1){
            FOR(j,0,M-1){
                ll res=MOD(sum-j,M);
                dp[i][sum]=min(dp[i-1][res]+g[i][j],dp[i][sum]);
            }
        }
    }
#ifdef LOCAL
    _print(dp);
    _print(g);
#endif
    ll ans=dp[L][0];
    cout<<ans;
}
/*
AC
https://atcoder.jp/contests/abc419/submissions/68614283
*/
    // vll Sum(N+5);
    // partial_sum(all(A),Sum.begin());
//     ll ans=0;
//     auto cal=[&](ll x){
//         x=abs(x);
//         ll res=x-x/M*M;
//         res=min(res,(x+M-1)/M*M-x);
//         return res;
//     };
//     FOR(i,1,N-L){
//         ll diff=A[L+i]-A[i];
//         // ll lans=MOD(diff,M);
//         // diff=diff%M;
//         // diff=abs(diff);
//         ll lans=cal(diff);
// #ifdef LOCAL
//     debug(i);debug(diff);debug(lans);
// #endif
//         ans+=cal(diff);
//     }
    
//     cout<<ans<<"\n";

心路历程（WA，TLE，MLE……）