2025“钉耙编程”中国大学生算法设计暑期联赛（10）——Multiple and Factor

思路讲解

简单来说，就是对

gcd递推方法。

FOR(i,0,blocksz){
    FOR(j,0,blocksz){
        if(i==0 || j==0){
            GCD[i][j]=i+j;
            continue;
        }
        if(i>j){
            GCD[i][j]=GCD[i-j][j];
        }else{
            GCD[i][j]=GCD[i][j-i];
        }
    }
}

这个块长也比较玄学，$siz=\frac{N}{\sqrt M}$)是过不了的，$siz=\frac{N}{2\sqrt M}$ 就可以过了，$siz=\frac{N}{4\sqrt M}$ 更快？其实我感觉要正确生成块长，主要还是要根据这个真正需要这个块长的东西决定的。

在这一堆操作中，真正需要用到块长会增加复杂度的操作，比用块长可以减少复杂度的多，因此，取较小的块长可以加快速度。

可以看到，负担操作执行的更多，因此可以减少块长。

这个也是一个小技巧。

// 比如说d=2，其实我们就是想知道k有几个可以除以2的因数
// 求这个O(1)比较难，但可以求k先除以2，即k/2有几个因数
ismul[d]+=SZ(divv[k/d])*x;

AC代码

https://vjudge.net/solution/63198297

源代码

// by Gospel_rock
#include <bits/stdc++.h>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define EM emplace
#define FI first
#define SE second
#define pct __builtin_popcountll
#define ctz __builtin_ctzll
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define FOR(i, a, b) for (long long i = (a); i <= (b); ++i)
#define ROF(i, a, b) for (long long i = (a); i >= (b); --i)
#define debug(var) cerr << #var <<":"<<var<<"\n";
#define cend cerr<<"\n-----------\n"
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)
#define minn(vec) *min_element(vec.begin(),vec.end())
#define maxx(vec) *max_element(vec.begin(),vec.end())
using namespace std;
#ifdef LOCAL
template<typename T> void _print(T x) { cerr << x; }
// 可以打印多层数组，但是格式不是很好
template<typename T> void _print(vector<T> v) { cerr << "[ "; for (T i : v) _print(i), cerr << " "; cerr << "]"; }
template<typename T> void _print(set<T> s) { cerr << "{ "; for (T i : s) _print(i), cerr << " "; cerr << "}"; }
template<typename T, typename U> void _print(pair<T, U> p) { cerr << "{"; _print(p.first); cerr << ", "; _print(p.second); cerr << "}"; }
template<typename T, typename U> void _print(map<T, U> m) { cerr << "{ "; for (auto &p : m) _print(p), cerr << " "; cerr << "}"; }
// 打印两层数组，格式好一些
template<typename T> void _print(vector<vector<T>> v){cerr<<"{\n";for (auto i : v) _print(i), cerr << "\n";cerr<<" }";}
#endif

using  ll = long long;using ull = unsigned long long;
using DB=double;using LD=long double;
using i128 = __int128;
using pdd = pair<DB,DB>;using plb = pair<ll,bool>;
using pll = pair<ll,ll>;using vll=vector<ll>;using vb=vector<bool>;
using tll = tuple<ll,ll,ll>;using vii=vector<int>;
using vpll = vector<pll>;using vtll = vector<tll>;
using vdb = vector<DB>;using vc=vector<char>;
using arr3 = array<ll,3> ;using arr2 = array<ll,2>;
using CD=complex<double>;
static constexpr ll MAXN=(ll)5e5+10,INF=(ll)1e17+3; // 1e17+3是素数 1e18+9是素数
static constexpr ll mod=(ll)1e9+7; // 998244353;
static constexpr double eps=1e-8;const double pi=acos(-1.0);
ll N,M,Q,X,T,lT;
// 来自wida github仓库 https://github.com/hh2048/XCPC/tree/main 加了一些新功能
//46 ms https://acm.hdu.edu.cn/contest/view-code?cid=1179&rid=14912 读入字符getc(a) 的AC记录
namespace QuickRead { // 快读
    char buf[1 << 21], *p1 = buf, *p2 = buf;
    inline int getc() {
        return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
    }
    template <typename T> void Cin(T &a) {
        T ans = 0;
        bool f = 0;
        char c = getc();
        for (; c < '0' || c > '9'; c = getc()) {
            if (c == '-') f = 1;
        }
        for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getc()) {
            ans = ans * 10 + c - '0';
        }
        a = f ? -ans : ans;
    }
    void getc(char &a){
        char c=getc();
        while (isspace(c)) {
            c=getc();
        }
        a=c;
    }
    template <typename T, typename... Args> void Cin(T &a, Args &...args) {
        Cin(a), Cin(args...);
    }
    // ===== 输出 =====
    static constexpr size_t OUT_CAP = 1 << 21;  // 大概是2MB
    char obuf[OUT_CAP];
    size_t op = 0;
    inline void flush() {
        if (op) {
            fwrite(obuf, 1, op, stdout);
            op = 0;
        }
    }
    inline void putc(char c) {
        if (op == OUT_CAP) flush();
        obuf[op++] = c;
    }
    template <typename T> void write(T x) { // 注意，这里输出不带换行
        if (x < 0) putc('-'), x = -x;
        if (x > 9) write(x / 10);
        putc(x % 10 + '0');
    }
    struct Flusher {    // 析构时自动刷新
        ~Flusher() { flush(); }
    } flusher;
} // namespace QuickRead
using namespace QuickRead;

inline void __();
constexpr ll blocksz=300;
ll GCD[blocksz+5][blocksz+5];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    FOR(i,0,blocksz){
        FOR(j,0,blocksz){
            if(i==0 || j==0){
                GCD[i][j]=i+j;
                continue;
            }
            if(i>j){
                GCD[i][j]=GCD[i-j][j];
            }else{
                GCD[i][j]=GCD[i][j-i];
            }
        }
    }
    // cin>>lT;
    // while(lT--)
        __();
    return 0;
}
/*

*/
ll B=0;
vll divv[MAXN];
inline void __(){
    Cin(N,M);
    B=max(N/int(sqrt(M)),2ll);
    B=min({B,blocksz,N});
    // B=1000;
    // lazy存的是以i为因数的数的总和（懒标记）
    vll lazy(B+5);
    vll ismul(B+5); // i's multiple
    for(int i=1;i<=N;++i){
        for(int j=i;j<=N;j+=i){
            divv[j].EB(i);
        }
    }
    vll A(N+5);
    FOR(i,1,N){
        Cin(A[i]);
        for(auto &d:divv[i]){
            if(d>B) break;
            // 这里有问题， lazy中的必须均匀
            // lazy[d]+=A[i];
            ismul[d]+=A[i];
        }
    }
    FOR(_,1,M){
        ll op,k,x;Cin(op,k);
        if(op==1){  // mul 
            Cin(x);
            if(k>B){
                for(int i=k;i<=N;i+=k){ 
                    A[i]+=x;
                } 
            }else{
                lazy[k]+=x;
            }
            // 肯定不能在lazy上面加，因为这个是不均匀的
            for(int i=1;i<=B;++i){
                ll lcm=(i*k)/GCD[i][k%i];
                ismul[i]+=(N/lcm)*x;
            } 
        }else if(op==2){    // div
            Cin(x);
            for(auto &d:divv[k]){
                A[d]+=x;
            }
            for(auto &d:divv[k]){
                if(d>B) break;
                // 比如说d=2，其实我们就是想知道k有几个可以除以2的因数
                // 求这个O(1)比较难，但可以求k先除以2，即k/2有几个因数
                ismul[d]+=SZ(divv[k/d])*x;
            }
        }else if(op==3){   // mul
            ll ans=0;
            if(k>B){
                for(int i=1;i<=B;++i){
                    ll lcm=(i*k)/GCD[i][k%i];
                    ans+=(N/lcm)*lazy[i];
                } 
                for(int i=k;i<=N;i+=k){
                    ans+=A[i];
                }
            }else{
                ans+=ismul[k];
                // for(int i=1;i<=B;++i){
                //     ll lcm=i*k/__gcd<int>(i,k);
                //     ans+=(N/lcm)*lazy[i];
                // } 
            }
            write(ans);putc('\n');
        }else{  // div
            ll ans=0;
            for(auto &d:divv[k]){
                ans+=A[d];
                if(d<=B){
                    ans+=SZ(divv[k/d])*lazy[d];
                }
            }
            write(ans);putc('\n');
        }
    }
}
/*
AC
https://vjudge.net/solution/63198297
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）