The 21st Hunan Provincial Collegiate Programming Contest——2025-湖南省赛-B. Cut ellipse（这种题目就是直接这个仿射变换）

题目大意

题目描述
给定二维平面上的一个标准椭圆方程：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

其中 $a$ 和 $b$ 是正实数，分别代表椭圆的半轴。

同时给定平面上的一条直线方程：

$$y = kx + c$$

已知该直线一定会将椭圆分割成两个区域，要求计算并输出这两个区域中面积较大的那一部分的面积。

输入格式
第一行包含两个整数 $a$ 和 $b$（$1 \le a,b \le 10^3$），表示椭圆的两个半轴长。
第二行包含两个整数 $k$ 和 $c$（$|k|,|c| \le 10^3$），定义了直线 $y = kx + c$。
数据保证直线必定与椭圆相交于两个不同的点。

输出格式
输出一个浮点数，表示椭圆中面积较大那一部分的面积。
你的答案与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 $10^{-6}$ 即被视为正确。

样例

输入

2 3
1 1

输出

12.709803500

样例解释
在样例中，给定椭圆方程为 $\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$，即 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$。
给定直线方程为 $y = x + 1$。
整个椭圆的面积为 $\pi \times a \times b = 6\pi \approx 18.8495559$。
直线 $y = x + 1$ 穿过该椭圆将其分成两部分，经过计算，这两部分中面积较大的区域面积约为 $12.709803500$。

思路讲解

椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，做代换 $u = \frac{x}{a},\; v = \frac{y}{b}$，椭圆变成 $u^2 + v^2 = 1$（单位圆）。

直线 $y = kx + c$ 变成 $bv = ka \cdot u + c$，即 $v = \frac{ka}{b}\,u + \frac{c}{b}$。

面积缩放关系：这个变换的雅可比行列式是 $ab$，所以在 $(u,v)$ 平面上算出的面积，乘以 $ab$ 就是椭圆上的面积。

具体而言，雅克比行列式是：

$$u = \frac{x}{a}, \quad v = \frac{y}{b}$$

反过来就是 $x = au,\; y = bv$。雅可比矩阵是把所有偏导数摆成矩阵：

$$J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$

雅可比行列式 = $\det(J) = ab - 0 = ab$。

这意味着：$(u,v)$ 平面上任何一块面积为 $S$ 的区域，对应回 $(x,y)$ 平面上面积为 $ab \cdot S$。

void Solve() {
    ll a0, b0, k0, c0;
    cin >> a0 >> b0 >> k0 >> c0;
    DB k1 = (DB) (k0 * a0) / b0;
    DB c1 = c0 / DB(b0);
    DB dis = distancePL(Point(0, 0), Line(k1, c1));
    cout << fsp(10);
    // 这个 dis = 0 的特判其实不需要 
    if (dis == 0) {
        DB area = pi * a0 * b0;
        area /= 2;
        cout << area << "\n";
        return;
    }
    // 弦长
    DB xian = 2 * sqrt(1 - dis * dis);
    // 角度大小
    DB angle = 2 * acos(dis / 1);
    DB shan = (angle / (2 * pi)) * pi;
    DB area = shan - 0.5 * dis * xian;

    area *= a0;
    area *= b0;
    area = max(area, pi * a0 * b0 - area);

    cout << area << "\n";
}

AC代码

AC
https://codeforces.com/gym/106139/submission/367303278

源代码

/**
 * Problem: B. Cut ellipse
 * Contest: The 21st Hunan Provincial Collegiate Programming Contest
 * Judge: Codeforces
 * URL: https://codeforces.com/gym/106139/problem/B
 * Created: 2026-03-19 11:41:32
 * Author: Gospel_rock
 * My blog: https://znzryb.com/
 * 
 * Powered by AutoCp https://github.com/Pushpavel/AutoCp
 */

#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define lson(o) (o<<1)
#define rson(o) (o<<1|1)
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define debug(var) cerr << #var <<" = ["<<var<<"]"<<"\n";
#define debug1d(a)                          \
cerr << #a << " = [";                     \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++) \
cerr << (i ? ", " : "") << a[i];        \
cerr << "]\n";
#define debug2d(a)                               \
cerr << #a << " = [\n";                        \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++)      \
{                                              \
cerr << "  [";                               \
for (int j = 0; j < (int)(a[i]).size(); j++) \
cerr << (j ? ", " : "") << a[i][j];        \
cerr << "]\n";                               \
}                                              \
cerr << "]\n";
#define cend cerr<<"\n-----------\n"
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)

using namespace std;

using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using DB = long double;
using i128 = __int128;
using CD = complex<double>;

// static constexpr ll MAXN = (ll) 1e6 + 10, INF = (1ll << 61) - 1;
// static constexpr ll mod = 998244353; // (ll)1e9+7;
// static constexpr double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);

ll lT, testcase;

/*
 *
 */

void Solve() {
    ll a0, b0, k0, c0;
    cin >> a0 >> b0 >> k0 >> c0;
    DB k1 = (DB) (k0 * a0) / b0;
    DB c1 = c0 / DB(b0);
    DB dis;
    if (k1 == 0) {
        dis = abs(c1);
    } else {
        if (c1 == 0) {
            dis = 0;
        } else {
            dis = ((c1 * c1) / k1) * (1.0 / sqrt(c1 * c1 + (c1 * c1) / (k1 * k1)));
            dis = abs(dis);
        }
    }
    cout << fsp(10);
    if (dis == 0) {
        DB area = pi * a0 * b0;
        area /= 2;
        cout << area << "\n";
        return;
    }
    DB xian = 2 * sqrt(1 - dis * dis);
    DB angle = 2 * acos(dis / 1);
    DB shan = (angle / (2 * pi)) * pi;
    DB area = shan - 0.5 * dis * xian;
#ifdef LOCAL
    debug(area);
#endif
    area *= a0;
    area *= b0;
    area = max(area, pi * a0 * b0 - area);
#ifdef LOCAL
    debug(area);
    debug(shan);
    debug(xian);
    debug(dis);
#endif

    cout << area << "\n";
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
#ifdef LOCAL
    cout.setf(ios::unitbuf); // 无缓冲流，方便我们调试
#endif

    // cin >> lT;
    // for (testcase = 1; testcase <= lT; ++testcase)
    Solve();
    return 0;
}

/*
AC
https://codeforces.com/gym/106139/submission/367303278

*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

这个形式一定要化简到 v=u。。。什么的形式