2026 杭电春季联赛 2——1001-湖上午后（a | b+ a & b = a + b）（数位 dp 在统计对数的时候不能是用【0，r】-【0，l-1】的这种方法）

题目大意

题目描述
给定两个以二进制字符串形式表示的非负整数 $s$ 和 $t$ 。
请计算有多少组整数对 $(a, b)$ 满足：

取值范围： $a$ 和 $b$ 均在区间 $[s, t]$ 内。
满足等式： $a \times b = (a \text{ or } b) \times (a \text{ and } b)$

其中 $\text{or}$ 表示按位或运算， $\text{and}$ 表示按位与运算。
最终答案需要对 $998244353$ 取模。

输入格式
第一行包含一个整数 $Q$ （ $1 \le Q \le 20$ ），表示测试用例的数量。
接下来 $Q$ 行，每行包含两个 $01$ 字符串 $S$ 和 $T$ ，分别表示非负整数 $s$ 和 $t$ 的二进制形式。
数据保证 $s$ 和 $t$ 的二进制形式无前导零，且满足 $s \le t$ ， $1 \le |S|, |T| \le 5 \times 10^5$ 。

输出格式
对于每个测试用例，输出一行一个非负整数，表示满足条件的解的数量对 $998244353$ 取模后的值。

样例数据

输入

输出

样例解释
原题未提供具体的样例解释内容，此处按要求对样例数据的完整输入输出进行展示。

思路讲解

这道题目的数的规律我们很容易从这个打表看出来。

我们下面只打印了有序对：

[-] FAILURE: RUNTIME ERROR
i = [0]
j = [1]
bitset<10>(i) = [0000000000]
bitset<10>(j) = [0000000001]

-----------
i = [0]
j = [2]
bitset<10>(i) = [0000000000]
bitset<10>(j) = [0000000010]

-----------
i = [0]
j = [3]
bitset<10>(i) = [0000000000]
bitset<10>(j) = [0000000011]

-----------
i = [0]
j = [4]
bitset<10>(i) = [0000000000]
bitset<10>(j) = [0000000100]

-----------
i = [1]
j = [3]
bitset<10>(i) = [0000000001]
bitset<10>(j) = [0000000011]

-----------
i = [2]
j = [3]
bitset<10>(i) = [0000000010]
bitset<10>(j) = [0000000011]

-----------
cnt = [6]

不难看出，我们所要求的是：

当然，如果你要推出这个东西的话，你需要知道一个定理：

对于任意两个非负整数 $a$ 和 $b$ ，我们设 $x = a \text{ or } b$ ， $y = a \text{ and } b$ 。
在位运算中，有一个非常经典的定律，即它们的和永远保持不变：

x + y = a + b

为什么？ 我们可以单独看某一个二进制位：

如果 $a$ 和 $b$ 这一位都是 0，那么 $x$ 是 0， $y$ 也是 0。 $(0+0 = 0+0)$
如果 $a$ 和 $b$ 这一位都是 1，那么 $x$ 是 1， $y$ 也是 1。 $(1+1 = 1+1)$
如果 $a$ 和 $b$ 这一位是一个 1 一个 0，那么 $x$ (OR) 会拿到这个 1， $y$ (AND) 是 0。 $(1+0 = 1+0)$
可以看出，无论哪种情况，进位和本质的值都不会丢失，所以 $a \text{ or } b$ 加上 $a \text{ and } b$ 必定等于 $a + b$ 。