Znzryb's Blog
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思路讲解

我们来看看哈希怎么做

参考题解 https://www.luogu.com.cn/article/qpf5y3pt

那么其实最难的就是子串哈希的计算

哈希的递推公式是

hash[i]=s[i]+base∗hash[i−1]hash[i]=s[i]+base*hash[i-1]

由此可得

hash[r]=(s[r]+s[r−1]∗base+⋯+s[l−1]∗baser−l+1+⋯+s[0]∗baser)hash[r]=(s[r]+s[r-1]*base+\cdots+s[l-1]*base^{r-l+1}+\cdots+s[0]*base^{r})

hash[l−1]=(s[l−1]+s[l−2]∗base+⋯+s[0]∗basel−1)hash[l-1]=(s[l-1]+s[l-2]*base+\cdots+s[0]*base^{l-1})

hash[l:r]=(s[r]+s[r−1]∗base+⋯+s[l]∗baser−l)hash[l:r]=(s[r]+s[r-1]*base+\cdots+s[l]*base^{r-l})

可以推得下式（其实可以这么理解，把 hash[l−1]hash[l-1] 左移 r−l+1r-l+1 位）

hash[l:r]=hash[r]−hash[l−1]∗baser−l+1hash[l:r]=hash[r]-hash[l-1]*base^{r-l+1}

至于height数组？直接用定义求，不搞那么多花里胡哨的

当然哈希还是慢了一点

image

下面是快排倍增做法

后缀的问题我们已经解决了，height数组是什么？

image

就是排序好的后缀，当前与上一个相同的前缀最长为多少（如上图所示）

那怎么求那？

运用下面这个定理

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AC代码

AC https://www.luogu.com.cn/record/198571599

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10;
const ll /*mod=static_cast<ll>(1e17)+3,*/base=131;
ll N,T,hashe[MAXN],sa[MAXN],height[MAXN],powBase[MAXN];
string S;

inline ll get_hash(ll a,ll b){
//	if(a<b)
//		return -1;
	// 就是b的哈希值-（a-1）的哈希值取模，对a==0的情况特判了
	return hashe[b]-(a>0?hashe[a-1]:0)*powBase[b-a+1];
}

inline bool comp(ll a,ll b){
	// 使用二分查找来枚举重叠了几位
	ll l=0,r=min(N-a,N-b);
	while (l<r) {
		ll mid=l+r+1>>1;
		if(get_hash(a,a+mid-1)==get_hash(b,b+mid-1)){
			l=mid;
		}else{
			r=mid-1;
		}
	}
	
	if(a+l<N && b+l<N && S[a+l]!=S[b+l]){
		return S[a+l]<S[b+l];
	}
	// 返回长度小的
	return N-a<N-b;
}
inline void get_height(){
	for(int i=1;i<N;++i){
		ll a=sa[i-1],b=sa[i];
		// 使用二分查找来枚举重叠了几位
		ll l=0,r=min(N-a,N-b);
		while (l<r) {
			ll mid=l+r+1>>1;
			if(get_hash(a, a+mid-1)==get_hash(b, b+mid-1)){
				l=mid;
			}else{
				r=mid-1;
			}
		}
		height[i]=l;
	}
}
inline void init(){
	ll val=0;
	for(int i=0;i<N;++i){
		val=base*val+S[i];
		hashe[i]=val;
		sa[i]=i;
	}
	powBase[0]=1;
	for(int i=1;i<=N+5;++i){
		powBase[i]=powBase[i-1]*base;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=S.size();
	init();
	sort(sa, sa+N, comp);
	for(int i=0;i<N;++i)
		cout<<sa[i]<<' ';
	cout<<'\n';
	get_height();
	for(int i=0;i<N;++i)
		cout<<height[i]<<' ';
	cout<<'\n';
}
/*
ponoiiipoi
AC https://www.luogu.com.cn/record/198571599
*/

AC 倍增法

https://www.luogu.com.cn/record/198379595

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(3e5)+117;

char S[MAXN];
// rk为第i个后缀子串排第几？  
ll rk[MAXN],sa[MAXN],tmp[MAXN],height[MAXN];
ll N;
int K;
bool comp_sa(ll a,ll b){
	if(rk[a]!=rk[b]){
		return rk[a]<rk[b];
	}else{
		int ra= a+K<=N ? rk[a+K]:-1;
		int rb= b+K<=N ? rk[b+K]:-1;
		return ra<rb;
	}
}

void cal_sa(){	// 计算后缀数组
	// tmp要访问到第N个数
	for(int i=0;i<=N;++i){
		rk[i]=i<N ? S[i]:-1;
		sa[i]=i;	// 还没有排序的后缀数组
	}
	for(K=1;K<=N;K=K*2){
		sort(sa, sa+N, comp_sa);
		// 排在sa最前面的rk肯定也是最前面的
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<N;++i){
			// tmp[sa[0]]排第一个，tmp[sa[0]]为第
			//                       如果确实小，rk+1（因为这个rk要排logn次，不是一次排出来的）
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+(comp_sa(sa[i], sa[i+1]) ? 1:0);
		}
		for(int i=0;i<N;++i){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

void getHeight(){
	for(int i=0;i<N;++i){
		rk[sa[i]]=i;
	}
	for(int i=0,k=0;i<N;++i){
		if(rk[i]==0) continue;
		if(k) k--;
		int j=sa[rk[i]-1];	// 前面一个序列的起始位置
		while (i+k<N && j+k<N && S[i+k]==S[j+k]) k++;
		height[rk[i]]=k;
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=strlen(S);
	cal_sa();
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<sa[i]<<' ';
	}
	cout<<'\n';
	getHeight();
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<height[i]<<' ';
	}
	cout<<'\n';
	return 0;
}
/*
00000

5 4 3 2 1
AC https://www.luogu.com.cn/record/198379595
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

WA

https://www.luogu.com.cn/record/198357917

字符串哈希WA了一次，主要原因是整型溢出

https://www.luogu.com.cn/record/198561313

解决方法竟然是不管？用整形溢出自然取整？我不理解，但我大受震撼

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思路讲解

后缀数组板题，数据还是有点水，我才用的做法是O（nloglog）的（快排排logn次）

数据不止有点水，和loj比也水，测不出来我代码的问题。

AC代码

https://loj.ac/s/2237091

这个是字符串哈希+二分的做法（洛谷稍微卡了一下，我也就不用快读什么的过了）

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10;
const ll /*mod=static_cast<ll>(1e17)+3,*/base=131;
ll N,T,hashe[MAXN],sa[MAXN],height[MAXN],powBase[MAXN];
string S;

inline ll get_hash(ll a,ll b){
//	if(a<b)
//		return -1;
	// 就是b的哈希值-（a-1）的哈希值取模，对a==0的情况特判了
	return hashe[b]-(a>0?hashe[a-1]:0)*powBase[b-a+1];
}

inline bool comp(ll a,ll b){
	// 使用二分查找来枚举重叠了几位
	ll l=0,r=min(N-a,N-b);
	while (l<r) {
		ll mid=l+r+1>>1;
		if(get_hash(a,a+mid-1)==get_hash(b,b+mid-1)){
			l=mid;
		}else{
			r=mid-1;
		}
	}
	
	if(a+l<N && b+l<N && S[a+l]!=S[b+l]){
		return S[a+l]<S[b+l];
	}
	// 返回长度小的
	return N-a<N-b;
}
inline void get_height(){
	for(int i=1;i<N;++i){
		ll a=sa[i-1],b=sa[i];
		// 使用二分查找来枚举重叠了几位
		ll l=0,r=min(N-a,N-b);
		while (l<r) {
			ll mid=l+r+1>>1;
			if(get_hash(a, a+mid-1)==get_hash(b, b+mid-1)){
				l=mid;
			}else{
				r=mid-1;
			}
		}
		height[i]=l;
	}
}
inline void init(){
	ll val=0;
	for(int i=0;i<N;++i){
		val=base*val+S[i];
		hashe[i]=val;
		sa[i]=i;
	}
	powBase[0]=1;
	for(int i=1;i<=N+5;++i){
		powBase[i]=powBase[i-1]*base;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=S.size();
	init();
	sort(sa, sa+N, comp);
	comp(67,60);
	for(int i=0;i<N;++i)
		cout<<sa[i]+1<<' ';
	cout<<'\n';
}
/*
ponoiiipoi

*/

下面是倍增法

https://loj.ac/s/2236509

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef array<ll, 3> arr;
const ll MAXN = static_cast<ll>(1e6) + 10;

char S[MAXN];
// rk为第i个后缀子串排第几？
ll rk[MAXN], sa[MAXN], tmp[MAXN];
ll N;
int K;
bool comp_sa(ll a, ll b) {
    if (rk[a] != rk[b]) {
        return rk[a] < rk[b];
    } else {
				 // 其实小于N就是对的，也不用考虑最后一位处理了
        int ra = a + K <= N ? rk[a + K] : -1;
        int rb = b + K <= N ? rk[b + K] : -1;
        return ra < rb;
    }
}

void cal_sa() { // 计算后缀数组
    // tmp要访问到第N个数
    for (int i = 0; i <= N; ++i) {
        rk[i] = i < N ? S[i] : -1;
        sa[i] = i;  // 还没有排序的后缀数组
    }

    for (K = 1; K <= N; K = K * 2) {
        sort(sa, sa + N, comp_sa);
        // 排在sa最前面的rk肯定也是最前面的
        tmp[sa[0]] = 0;

        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            // tmp[sa[0]]排第一个，tmp[sa[0]]为第
            //                       如果确实小，rk+1（因为这个rk要排logn次，不是一次排出来的）
            tmp[sa[i + 1]] = tmp[sa[i]] + (comp_sa(sa[i], sa[i + 1]) ? 1 : 0);
        }

        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            rk[i] = tmp[i];
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin >> S;
    N = strlen(S);
    cal_sa();

    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        cout << sa[i] + 1 << ' ';
    }

    cout << '\n';
    return 0;
}

心路历程（WA，TLE，MLE……）

AC（其实这个代码里有UB，我越界访问了，不过问题不大）

https://www.luogu.com.cn/record/198321780

虽然洛谷的AC了，但是loj的出了问题

hack数据

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https://loj.ac/s/2236497

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(1e6)+10;

string S;
// rk为第i个后缀子串排第几？  
ll rk[MAXN],sa[MAXN],tmp[MAXN];
ll N;
int K;
bool comp_sa(ll a,ll b){
	if(rk[a]!=rk[b]){
		return rk[a]<rk[b];
	}else{
		int ra= a+K<=N ? rk[a+K]:-1;
		int rb= b+K<=N ? rk[b+K]:-1;
		return ra<rb;
	}
}

void cal_sa(){	// 计算后缀数组
	// tmp要访问到第N个数
	for(int i=0;i<=N;++i){
		rk[i]=S[i];
		sa[i]=i;	// 还没有排序的后缀数组
	}
	for(K=1;K<=N;K=K*2){
		sort(sa, sa+N, comp_sa);
		// 排在sa最前面的rk肯定也是最前面的
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<N;++i){
			// tmp[sa[0]]排第一个，tmp[sa[0]]为第
			//                       如果确实小，rk+1（因为这个rk要排logn次，不是一次排出来的）
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+(comp_sa(sa[i], sa[i+1]) ? 1:0);
		}
		for(int i=0;i<N;++i){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>S;
	N=S.size();
	cal_sa();
	for(int i=0;i<N;++i){
		cout<<sa[i]+1<<' ';
	}
	cout<<'\n';
	return 0;
}

Posted on Edited on

思路讲解

假设已经知道height数组以及后缀数组，这样子求出来的就是最长公共子串

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S=s1+'$'+s2;
for(int i=1;i<N;++i){
	ll l=sa[i-1],r=sa[i];
	if(l>r)
		swap(l, r);
	if(l<n1 && r>n1){
		ans=max(ans,height[i]);
	}
}
cout<<ans<<'\n';

AC代码

AC 倍增法还是快

https://vjudge.net/solution/57548921

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(2e5)+10;
const ll base=131;

ll N,tmp[MAXN],sa[MAXN],height[MAXN],rk[MAXN],K;
string S;

bool comp_sa(ll a,ll b){
	if(rk[a]!=rk[b]){
		return rk[a]<rk[b];
	}else{
		int ra= a+K<=N ? rk[a+K]:-1;
		int rb= b+K<=N ? rk[b+K]:-1;
		return ra<rb;
	}
}

inline void cal_sa(){	// 计算后缀数组
	// tmp要访问到第N个数
	for(int i=0;i<=N;++i){
		rk[i]=i<N ? S[i]:-1;
		sa[i]=i;	// 还没有排序的后缀数组
	}
	for(K=1;K<=N;K=K*2){
		sort(sa, sa+N, comp_sa);
		// 排在sa最前面的rk肯定也是最前面的
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<N;++i){
			// tmp[sa[0]]排第一个，tmp[sa[0]]为第
			//                       如果确实小，rk+1（因为这个rk要排logn次，不是一次排出来的）
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+(comp_sa(sa[i], sa[i+1]) ? 1:0);
		}
		for(int i=0;i<N;++i){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

inline void getHeight(){
	for(int i=0;i<N;++i){
		rk[sa[i]]=i;
	}
	for(int i=0,k=0;i<N;++i){
		if(rk[i]==0) continue;
		if(k) k--;
		int j=sa[rk[i]-1];	// 前面一个序列的起始位置
		while (i+k<N && j+k<N && S[i+k]==S[j+k]) k++;
		height[rk[i]]=k;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	string s1,s2;
	while(cin>>s1>>s2){
		S=s1+'$'+s2;
		N=S.size();
		cal_sa();
		getHeight();
		// < n1 是前面的串 >n1 是后面的串
		ll n1=s1.size();
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<N;++i){
			ll l=sa[i-1],r=sa[i];
			if(l>r)
				swap(l, r);
			if(l<n1 && r>n1){
				ans=max(ans,height[i]);
			}
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}
/*
AC https://vjudge.net/solution/57548921
banana
cianaic
abbacc
abbaccc

EOF

*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

https://vjudge.net/solution/57547694

TLE，我用快读试试能不能搞定用哈希二分过

Posted on Edited on

思路讲解

我们看看可不可以一题多解，用数位dp解一下这道

主要就是记忆化搜索，具体看黑书还有我的代码注释，还是比较详细的

黑书还是好，让我仿写，但还可以留白一部分，让我自己写，真是对我太友好了

image

AC代码

https://vjudge.net/solution/57465304

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef array<ll,3> arr;
const ll MAXN=static_cast<ll>(2e5)+10;
// dp表示第i位符合要求的数字数量,比如dp[1]=9，因为除了4都满足
ll L,R,dp[15][3],digit[15];
// digit是指该数的第i位为几，比如说342，digit[1]=2
//                       上一位是不是6？
ll dfs(ll len,bool isMax,bool is6){
	if(len==0)// 递归结束条件
		return 1;
	// 记忆化结束条件
	if(dp[len][is6]!=-1 && isMax==false)
		return dp[len][is6];
	ll res=0,maxx;
	// 如果不是最大位，那么就直接取9
	maxx= isMax ? digit[len]:9;
	for(int i=0;i<=maxx;++i){
		// 记忆化搜索关键部分来了，数位dp之所以可以这样
		// 是因为 最高位+后面的数=新数
		if(i==4)	// 排除4
			continue;
		if(is6 && i==2)	// 不能组成62
			continue;
		if(i==6){
			res+=dfs(len-1,isMax && i==maxx,true);
		}else{
			// 如果前数进入是最大数，i也是最大数，后面的也要受限制
			// 比如324，百位为3确定了，十位最多为2
			// 但如果324，百位为2确定了，后面的数想写啥写啥
			res+=dfs(len-1,isMax && i==maxx,false);
		}
	}
	if(!isMax)
		dp[len][is6]=res;
	return res;
}

void solve(){
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	string Ls=to_string(L-1);
	for(int i=1;i<=Ls.size();++i){
		digit[i]=Ls[Ls.size()-i]-'0';
	}
	ll lres=dfs(Ls.size(), true,false);
	string Rs=to_string(R);
	for(int i=1;i<=Rs.size();++i){
		digit[i]=Rs[Rs.size()-i]-'0';
	}
	ll rres=dfs(Rs.size(), true,false);
	cout<<rres-lres<<'\n';
	return;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	while (cin>>L>>R) {
		if(L==0 && R==0)
			break;
		solve();
	}
	return 0;
}
// AC https://vjudge.net/solution/57465304

心路历程（WA，TLE，MLE……）

Posted on Edited on

思路讲解

注意石子是一个圈，这个时候化曲为直，化为长度为两倍的序列

然后区间dp一般是O(n**3)的，因为序列的合并可能发生在任何地方，不一定是头和尾

AC代码

AC https://www.luogu.com.cn/record/197959001

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

typedef long long ll;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
typedef std::array<ll,3> arr;
const ll MAXN=217;

ll N,T,A[MAXN],dp_min[MAXN][MAXN],dp_max[MAXN][MAXN],sumA[MAXN];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
    std::cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        std::cin>>A[i];
        sumA[i]=A[i]+sumA[i-1];
    }
    for(int i=N+1;i<=2*N;++i){
        A[i]=A[i-N];
        sumA[i]=A[i]+sumA[i-1];
    }

    // 初始化dp数组
    for(int i=1;i<=2*N;++i){
        dp_min[i][i] = 0;
        dp_max[i][i] = 0;
    }

    // 计算最小得分
    for(int len=2;len<=N;++len){
        for(int i=1;i<=2*N-len+1;++i){
            int j = i + len - 1;
            dp_min[i][j] = 1e18+7;
            dp_max[i][j] = 0;
            for(int k=i;k<j;++k){
                ll cost = sumA[j] - sumA[i-1];
                dp_min[i][j] = std::min(dp_min[i][j], dp_min[i][k] + dp_min[k+1][j] + cost);
                dp_max[i][j] = std::max(dp_max[i][j], dp_max[i][k] + dp_max[k+1][j] + cost);
            }
        }
    }

    ll min_ans = 1e18+7;
    ll max_ans = 0;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        min_ans = std::min(min_ans, dp_min[i][i+N-1]);
        max_ans = std::max(max_ans, dp_max[i][i+N-1]);
    }
    std::cout<<min_ans<<"\n";
    std::cout<<max_ans<<"\n";
    return 0;
}
/*
AC https://www.luogu.com.cn/record/197959001
*/

心路历程（WA，TLE，MLE……）

WA

https://www.luogu.com.cn/record/197954954

序列的合并可能发生在任何地方，不一定是头和尾

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <deque>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <iterator>
#include <random>
#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <array>

typedef long long ll;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
typedef std::array<ll,3> arr;
const ll MAXN=217;

ll N,T,A[MAXN],dp[MAXN][MAXN],sumA[MAXN];


int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);
	std::cin>>N;
	for(int i=1;i<=N;++i){
		std::cin>>A[i];
		sumA[i]=A[i]+sumA[i-1];
	}
	for(int i=N+1;i<=2*N;++i){
		A[i]=A[i-N];
		sumA[i]=A[i]+sumA[i-1];
	}
	// 注意石子是一个圈，所以我们搞一个长度为2*n的链
	// 先最小化得分
	for(int i=2*N;i>=1;--i){
		for(int j=i+1;j<=2*N;++j){
			// 从i到j 区间 最小得分  从i+1到j区间转移过来
			dp[i][j]=std::min(dp[i+1][j]+sumA[j]-sumA[i]+A[i],
				// 从i到j-1区间转移过来
				dp[i][j-1]+sumA[j-1]-sumA[i-1]+A[j]);
			
		}
	}
	ll ans=1e18+7;
	for(int i=1;i<=N;++i){
		ans=std::min(dp[i][i+N-1],ans);
	}
	std::cout<<ans<<"\n";
	std::memset(dp, 0, sizeof(dp));
	// 先最大化得分
	for(int i=2*N;i>=1;--i){
		for(int j=i+1;j<=2*N;++j){
			// 从i到j 区间 最大得分  从i+1到j区间转移过来
			dp[i][j]=std::max(dp[i+1][j]+sumA[j]-sumA[i]+A[i],
				// 从i到j-1区间转移过来
				dp[i][j-1]+sumA[j-1]-sumA[i-1]+A[j]);
		}
	}
	ans=0;
	for(int i=1;i<=N;++i){
		ans=std::max(dp[i][i+N-1],ans);
	}
	std::cout<<ans<<"\n";
	return 0;
}
/*
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*/