题目大意
题目描述
给定二维平面上的一个标准椭圆方程：
a2x2+b2y2=1
其中 a 和 b 是正实数，分别代表椭圆的半轴。
同时给定平面上的一条直线方程：
y=kx+c
已知该直线一定会将椭圆分割成两个区域，要求计算并输出这两个区域中面积较大的那一部分的面积。
输入格式
第一行包含两个整数 a 和 b（1≤a,b≤103），表示椭圆的两个半轴长。
第二行包含两个整数 k 和 c（∣k∣,∣c∣≤103），定义了直线 y=kx+c。
数据保证直线必定与椭圆相交于两个不同的点。
输出格式
输出一个浮点数，表示椭圆中面积较大那一部分的面积。
你的答案与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 10−6 即被视为正确。
样例
输入
输出
样例解释
在样例中，给定椭圆方程为 22x2+32y2=1，即 4x2+9y2=1。
给定直线方程为 y=x+1。
整个椭圆的面积为 π×a×b=6π≈18.8495559。
直线 y=x+1 穿过该椭圆将其分成两部分，经过计算，这两部分中面积较大的区域面积约为 12.709803500。
思路讲解
椭圆方程 a2x2+b2y2=1，做代换 u=ax,v=by，椭圆变成 u2+v2=1（单位圆）。
直线 y=kx+c 变成 bv=ka⋅u+c，即 v=bkau+bc。
面积缩放关系：这个变换的雅可比行列式是 ab，所以在 (u,v) 平面上算出的面积，乘以 ab 就是椭圆上的面积。
具体而言，雅克比行列式是：
u=ax,v=by
反过来就是 x=au,y=bv。雅可比矩阵是把所有偏导数摆成矩阵：
J=(∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y)=(a00b)
雅可比行列式 = det(J)=ab−0=ab。
这意味着：(u,v) 平面上任何一块面积为 S 的区域，对应回 (x,y) 平面上面积为 ab⋅S。
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| void Solve() {
ll a0, b0, k0, c0;
cin >> a0 >> b0 >> k0 >> c0;
DB k1 = (DB) (k0 * a0) / b0;
DB c1 = c0 / DB(b0);
DB dis = distancePL(Point(0, 0), Line(k1, c1));
cout << fsp(10);
if (dis == 0) {
DB area = pi * a0 * b0;
area /= 2;
cout << area << "\n";
return;
}
DB xian = 2 * sqrt(1 - dis * dis);
DB angle = 2 * acos(dis / 1);
DB shan = (angle / (2 * pi)) * pi;
DB area = shan - 0.5 * dis * xian;
area *= a0;
area *= b0;
area = max(area, pi * a0 * b0 - area);
cout << area << "\n";
}
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AC代码
AC
https://codeforces.com/gym/106139/submission/367303278
源代码
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#include <bits/stdc++.h>
#define all(vec) vec.begin(),vec.end()
#define lson(o) (o<<1)
#define rson(o) (o<<1|1)
#define SZ(a) ((long long) a.size())
#define debug(var) cerr << #var <<" = ["<<var<<"]"<<"\n";
#define debug1d(a) \
cerr << #a << " = ["; \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++) \
cerr << (i ? ", " : "") << a[i]; \
cerr << "]\n";
#define debug2d(a) \
cerr << #a << " = [\n"; \
for (int i = 0; i < (int)(a).size(); i++) \
{ \
cerr << " ["; \
for (int j = 0; j < (int)(a[i]).size(); j++) \
cerr << (j ? ", " : "") << a[i][j]; \
cerr << "]\n"; \
} \
cerr << "]\n";
#define cend cerr<<"\n-----------\n"
#define fsp(x) fixed<<setprecision(x)
using namespace std;
using ll = long long;
using ull = unsigned long long;
using DB = long double;
using i128 = __int128;
using CD = complex<double>;
const double pi = acos(-1.0);
ll lT, testcase;
void Solve() {
ll a0, b0, k0, c0;
cin >> a0 >> b0 >> k0 >> c0;
DB k1 = (DB) (k0 * a0) / b0;
DB c1 = c0 / DB(b0);
DB dis;
if (k1 == 0) {
dis = abs(c1);
} else {
if (c1 == 0) {
dis = 0;
} else {
dis = ((c1 * c1) / k1) * (1.0 / sqrt(c1 * c1 + (c1 * c1) / (k1 * k1)));
dis = abs(dis);
}
}
cout << fsp(10);
if (dis == 0) {
DB area = pi * a0 * b0;
area /= 2;
cout << area << "\n";
return;
}
DB xian = 2 * sqrt(1 - dis * dis);
DB angle = 2 * acos(dis / 1);
DB shan = (angle / (2 * pi)) * pi;
DB area = shan - 0.5 * dis * xian;
#ifdef LOCAL
debug(area);
#endif
area *= a0;
area *= b0;
area = max(area, pi * a0 * b0 - area);
#ifdef LOCAL
debug(area);
debug(shan);
debug(xian);
debug(dis);
#endif
cout << area << "\n";
}
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
#ifdef LOCAL
cout.setf(ios::unitbuf);
#endif
Solve();
return 0;
}
|
心路历程（WA，TLE，MLE……）
这个形式一定要化简到 v=u。。。什么的形式
